PI griego

PI griego
Símbolo
Valor
fracción continua	[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, ...] (secuencia A001203 de la OEIS)
Juntos	números trascendentes
constantes correlacionadas	Constante de Gel'fond , constantes Zeta
La relación entre la longitud de la circunferencia de una rueda y su diámetro es π

Pi es una constante matemática , indicada por la letra griega ( pi ), elegida como inicial de περιφέρεια (perifereia), circunferencia en griego. $\ Pi$

En geometría plana, il se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y la de su diámetro , o incluso como el área de un círculo con un radio . Muchos textos modernos de análisis matemático definen el uso de funciones trigonométricas : por ejemplo, como el número estrictamente positivo más pequeño para el cual o el número más pequeño que dividido por cancela . Todas estas definiciones son equivalentes. $\ Pi$ $1$ $\ Pi$ $\ pecado (x) = 0$ $2$ $\ porque (x)$

Il también se conoce como constante de Arquímedes (que no debe confundirse con el número de Arquímedes ) y constante de Ludolph o número de Ludolph . El no es una constante física o natural, sino una constante matemática definida de forma abstracta, independiente de las medidas físicas. $\ Pi$ $\ Pi$

Este es el valor de truncado al 100° lugar decimal [1] [2] : $\ Pi$

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679

Propiedades

Il es un número irracional , por lo que no se puede escribir como cociente de dos enteros , como demostró en 1761 Johann Heinrich Lambert . También es un número trascendente (es decir, no es un número algebraico ): este hecho fue probado por Ferdinand von Lindemann en 1882 . Esto significa que no existen polinomios con coeficientes racionales de los cuales sea la raíz, por lo que es imposible expresarlos utilizando un número finito de valores enteros, fracciones y sus raíces. $\ Pi$ $\ Pi$ $\ Pi$

Este resultado establece la imposibilidad de cuadratura del círculo , es decir, la construcción con regla y compás de un cuadrado de la misma área que un círculo dado.

Aplicaciones

Geometría analítica

Circunferencia de un círculo o esfera de radio : $r$

C = 2 {\ pi} r

Área de un círculo de radio : $r$

A = {\ pi} {r^{2}}

Área de una elipse de semiejes y : $a$ $b$

A = {\ pi} ab

Volumen de una esfera de radio : $r$

V = {\ fracción {4} {3}} {\ pi} {r^ {3}}

Superficie de una esfera de radio : $r$

S = 4 {\ pi} {r^{2}}

Volumen de un cilindro de altura y radio : $h$ $r$

V = {\ pi} {r^{2}} h

Superficie de un cilindro de altura y radio : $h$ $r$

S = 2 {\ pi} r \ cdot (r + h)

Ángulos : 180 grados es igual a radianes . $\ Pi$
Volumen de un cono de altura h y radio r :

V = {\ pi} {r ^ {2}} {\ fracción {h} {3}}

Análisis

Fórmula de Viète , 1593 :

2 \ cdot {\ frac {2} {{\ sqrt 2}}} \ cdot {\ frac {2} {{\ sqrt {2 + {\ sqrt 2}}}}} \ cdot {\ frac {2} { {\ raíz cuadrada {2 + {\ raíz cuadrada {2 + {\ raíz cuadrada 2}}}}}}} \ cdot \ ldots = \ pi

Fórmula de Leibniz :

{\ fracción {1} {1}} - {\ fracción {1} {3}} + {\ fracción {1} {5}} - {\ fracción {1} {7}} + {\ fracción {1} {9}} - \ cdots = {\ frac {\ pi} {4}}

lo que demuestra que:

{\ frac {1} {1 \ cdot 3}} + {\ frac {1} {5 \ cdot 7}} + {\ frac {1} {9 \ cdot 11}} + {\ frac {1} {13 \ cdot 15}} + {\ frac {1} {17 \ cdot 19}} + \ cdots = {\ frac {\ pi} {8}}

Fórmula de Nilakantha

{\ frac {1} {1 \ cdot 2 \ cdot 3}} - {\ frac {1} {2 \ cdot 3 \ cdot 5}} + {\ frac {1} {3 \ cdot 4 \ cdot 7}} - {\ frac {1} {4 \ cdot 5 \ cdot 9}} + \ puntos = \ pi -3

Una serie muy elegante, que proporciona directamente los decimales de .

\ Pi

Fórmula Madhava (alrededor de 1400 )

\ pi = {\ sqrt {12}} \ izquierda (1 - {\ frac {1} {3 \ cdot 3}} + {\ frac {1} {3 ^ {2} \ cdot 5}} - {\ frac {1} {3 ^ {3} \cdot 7}} + \cdots\derecha)

Producto Wallis :

\ prod _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(2n) (2n)} {(2n-1) (2n + 1)}} = {\ frac {2} {1 }} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdot {\ frac {8} {7}} \ cdot {\ frac {8} {9}} \ cdots = {\ frac {\ pi} {2}}

Problema de Basilea , resuelto por Euler :

\ zeta (2) = {\ fracción {1} {1 ^ {2}}} + {\ fracción {1} {2 ^ {2}}} + {\ fracción {1} {3 ^ {2}}} + {\ fracción {1} {4 ^ {2}}} + \ cdots = {\ fracción {\ pi ^ {2}} {6}}

Fórmula usando la función zeta de Riemann :

\zeta (4) = {\ fracción {1} {1 ^ {4}}} + {\ fracción {1} {2 ^ {4}}} + {\ fracción {1} {3 ^ {4}}} + {\ fracción {1} {4 ^ {4}}} + \ cdots = {\ fracción {\ pi ^ {4}} {90}}

Producto de Euler , donde el producto pasa por todos los números primos:

{\ frac {1} {\ izquierda (1 - {\ frac {1} {2 ^ {2}}} \ derecha)}} {\ frac {1} {\ izquierda (1 - {\ frac {1} { 3 ^ {2}}} \ derecha)}} {\ frac {1} {\ izquierda (1 - {\ frac {1} {5 ^ {2}}} \ derecha)}} {\ frac {1} { \ izquierda (1 - {\ frac {1} {7 ^ {2}}} \ derecha)}} {\ frac {1} {\ izquierda (1 - {\ frac {1} {11 ^ {2}}} \ derecha)}} \ cdots = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}

Integral de Gauss :

\ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} e ^ {{- x ^ {2}}} dx = {\ sqrt {\ pi}}

Integral de Euler :

\ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} e ^ {{{\ frac {-u ^ {2}} {2}}}} du = {\ sqrt {2 \ pi}}

Otras integrales definidas :

\ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} {\ frac {1} {1+ {x ^ {2}}}} \, dx = \ pi

\ int _ {0} ^ {{+ \ infty}} {{\ frac {x} {e ^ {x} -1}} \, dx} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6} }

{\ estilo de visualización \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2}}}

{\ estilo de visualización \ int _ {0} ^ {r} {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}} dx = {\ frac {\ pi r ^ {2}} {4}}}

Integral de Fresnel :

\ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} \ cos (x ^ {2}) \, dx = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} \ sin (x ^ {2}) \, dx = {\ sqrt {{\ frac {\ pi} {2}}}}

Función gamma :

\ gamma \ izquierda ({1 \ sobre 2} \ derecha) = {\ sqrt {\ pi}}

{\ estilo de visualización \ Gamma \ izquierda ({3 \ sobre 2} \ derecha) = {\ frac {1} {2}}! = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}}}

Aproximación de Stirling :

n! \ sim {\ sqrt {2 \ pi n}} \ izquierda ({\ frac {n} {e}} \ derecha) ^ {n}

Función phi de Euler :

\ suma _ {{k = 0}} ^ {{n}} \ phi (k) \ sim 3n ^ {2} / \ pi ^ {2}

La identidad de Euler , definida por Richard Feynman como "la fórmula más notable de las matemáticas":

y ^ {{\ pi i}} + 1 = 0 \;

Producto infinito de Euler con números primos impares :

{\ fracción {\ pi} {4}} = {\ fracción {3} {4}} \ veces {\ fracción {5} {4}} \ veces {\ fracción {7} {8}} \ veces {\ frac {11} {12}} \ times {\ frac {13} {12}} \ times {\ frac {17} {16}} \ times {\ frac {19} {20}} \ times {\ frac { 23} {24}} \ times {\ frac {29} {28}} \ times {\ frac {31} {32}} \ times \ cdots \!

donde en el numerador están todos los números primos impares y en el denominador el múltiplo de cuatro más cercano al numerador. Una fórmula notable que demuestra, como el producto de Euler , la sorprendente relación entre pi y los números primos. Sin embargo, tiene una convergencia muy lenta y, por lo tanto, no es adecuado para calcular decimales de . [3]

\ Pi

Fórmula basada en la serie armónica , con "corrección" de signos ( Euler , 1748 )

\ pi = {{1}} + {\ fracción {{1}} {{2}}} + {\ fracción {{1}} {{3}}} + {\ fracción {{1}} {{4 }}} - {\ fracción {{1}} {{5}}} + {\ fracción {{1}} {{6}}} + {\ fracción {{1}} {{7}}} + { \ fracción {{1}} {{8}}} + {\ fracción {{1}} {{9}}} - {\ fracción {{1}} {{10}}} + {\ fracción {{1 }} {{11}}} + {\ fracción {{1}} {{12}}} - {\ fracción {{1}} {{13}}} + \ puntos

donde los signos se determinan de la siguiente manera: el número tiene signo positivo; los números primos de la forma tienen signo positivo; los números primos de la forma tienen signo negativo; para números compuestos el signo es el producto de los signos de los factores individuales. [4]

2

4m-1

4m + 1

Incluso esta serie, aunque muy notable y elegante, tiene una convergencia extremadamente lenta. De hecho, es necesario sumar más de 2 millones de términos para obtener dos decimales exactos. [5]

Fórmula derivada de la de Taylor , también de Euler :

\ pi = {{4}} \ veces \ izquierda ({{1}} - {\ frac {{1}} {{n}}} + {\ frac {{1}} {{n + 2}}} - {\ fracción {{1}} {{n + 4}}} + {\ fracción {{1}} {{n + 6}}} - \ puntos \ derecha)

donde n = 3. Cuantas más fracciones se suman, más preciso es el resultado.

teorema residual :

\ punto {\ frac {dz} {z}} = 2 \ pi i

Fracción continua de Ramanujan :

{\ sqrt {\ phi ^ {2} +1}} = \ phi + {\ cfrac {e ^ {{- 2 \ pi / 5}}} {1 + {\ cfrac {e ^ {{- 2 \ pi }}} {1 + {\ cfrac {e ^ {{- 4 \ pi}}} {1 + {\ cfrac {e ^ {{- 6 \ pi}}} {1 + \, \ cdots}}}} }}}}

donde es la proporción áurea ( ).

\ fi

1.618 \ puntos

Fracción continua generalizada de Ramanujan (o fracción fractal)

{\ estilo de visualización 1 + {\ frac {1} {1 \ cdot 3}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 9}} + \ cdots + {1 \ sobre 1+ {1 \ sobre 1+ {2 \ sobre 1+ {3 \ sobre 1+ {4 \ sobre 1+ {5 \ sobre 1+ \ cdots}}}}}} = {\ sqrt {\ frac {{\ rm {e}} \ pi} {2}}}. }

Fórmula que vincula la constante de Euler-Mascheroni y la función gamma , de la que se deriva pi:

{\ estilo de visualización \ pi = \ izquierda ({{\ frac {\ Gamma (\ gamma)} {\ Gamma (2 \ gamma) \ Gamma (1/2- \ gamma)}} + {\ frac {2 \ Gamma ( 1-2\gamma)} {\ Gamma (1- \gamma) \ Gamma (1/2- \gamma)}}} \right) ^ {2} \left ({\ frac {\ Gamma (\gamma)\ Gamma (1/2-\gamma/2)} {\ Gamma (\gamma/2)}} \right)^{4}}

Dado un semicírculo de radio centrado en el origen del plano cartesiano, se puede definir como una longitud en forma cartesiana explícita sobre todo el dominio de la función que describe el semicírculo: $r$ $\ pi r$ $f\izquierda (x\derecha): = {\ sqrt {r^{2} -x^{2}}}$

{\ estilo de visualización {\ comenzar {alineado} \ pi & = {\ frac {1} {r}} \ int _ {- r} ^ {r} {\ sqrt {{\ Big (} {\ frac {d} { dx}} f (x) {\ Big)} ^ {2} +1}} \, dx \\ & = {\ frac {1} {r}} {\ int _ {- r} ^ {r} { \ sqrt {{\ frac {x ^ {2}} {r ^ {2} -x ^ {2}}} + 1}} \, dx} \\ & = [{\ arcsin (1) - \ arcsin ( -1)]} \ final {alineado}}}

Teoría de números

La probabilidad de que dos números enteros elegidos al azar sean primos entre sí es: (≈60,8%) ${\ estilo de visualización {\ frac {6} {\ pi ^ {2}}}}$
El número promedio de formas en que un entero positivo se puede escribir como la suma de dos cuadrados perfectos es :. ${\ estilo de visualización {\ frac {\ pi} {4}}}$

Sistemas dinámicos, teoría ergódica

$\ lim _ {{n \ a \ infty}} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {{i = 1}} ^ {{n}} {\ sqrt {x_ {i}}} = { \ fracción {2} {\ pi}}$ para casi todos los reales donde hay iteraciones del mapa logístico para . $x_0$ $[0, 1]$ $x_i$ $r = 4$

Probabilidad y estadística

Función de densidad de probabilidad en la distribución normal univariante :

f (x) = {1 \ sobre \ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}} \, e ^ {{- {(x- \ mu) ^ {2} \ sobre 2 \ sigma ^ {2}}} }

Buffon fue el primero en descubrir un equivalente estadístico del cálculo de , conocido como aguja de Buffon , pero no lo utilizó para estimar el número. [6] $\ Pi$

Aerodinámica

La pendiente máxima ( teoría de Glauert ) de la sección lineal de la curva (es decir , el coeficiente de sustentación dividido por el ángulo de incidencia ) para cualquier perfil aerodinámico bidimensional delgado es . $C _ {{L}} / \ alfa$ $2 \ pi$

Física

Período de las pequeñas oscilaciones del péndulo :

T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}

Ecuación de campo de la relatividad general de Einstein :

R _ {{ik}} - {g _ {{ik}} R \ sobre 2} + \ Lambda g _ {{ik}} = {8 \ pi G \ sobre c ^ {4}} T _ {{ik }}

Fuerza de culombio :

F = {\ frac {\ izquierda | q_ {1} q_ {2} \ derecha |} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r ^ {2}}}

Principio de incertidumbre de Heisenberg :

\ Delta x \ Delta p \ geq {\ frac {h} {4 \ pi}}

La presencia de en estas dos últimas fórmulas, sin embargo, es consecuencia de la definición adoptada para las constantes físicas y . $\ Pi$ $\ épsilon _ {0}$ $h$

Fracciones continuas

Como todo número irracional, π no puede expresarse como fracción de dos enteros, pero admite una representación como fracción continua [7]

\ pi = 3 + \ estilo de texto \ frac {1} {7+ \ estilo de texto \ frac {1} {15+ \ estilo de texto \ frac {1} {1+ \ estilo de texto \ frac {1} {292+ \ estilo de texto \ frac { 1} {1+ \ estilo de texto \ frac {1} {1+ \ estilo de texto \ frac {1} {1+ \ ddots}}}}}}}

Al truncar la fracción continua en cualquier punto se obtienen las aproximaciones racionales de π, de las cuales las primeras son 3, 22/7, 333/106 y 355/113, las aproximaciones de π más conocidas e históricamente utilizadas. La fracción continua de π no es periódica (ya que π no es un número irracional cuadrático ) ni tiene una estructura obvia, [7] sin embargo, varios matemáticos han descubierto representaciones como fracciones continuas generalizadas que siguen un patrón claro: [8]

\ pi = \ estilo de texto \ cfrac {4} {1+ \ estilo de texto \ frac {1 ^ 2} {2+ \ estilo de texto \ frac {3 ^ 2} {2+ \ estilo de texto \ frac {5 ^ 2} {2+ \ estilo de texto \ frac {7 ^ 2} {2+ \ estilo de texto \ frac {9 ^ 2} {2+ \ ddots}}}}}} = 3 + \ estilo de texto \ frac {1 ^ 2} {6+ \ estilo de texto \ frac {3^2} {6+\textstyle\frac {5^2} {6+\textstyle\frac {7^2} {6+\textstyle\frac {9^2} {6+\ddots}}}} } = \textstyle\cfrac {4} {1+ \textstyle\frac {1 ^ 2} {3+ \textstyle\frac {2 ^ 2} {5+ \textstyle\frac {3 ^ 2} {7+\textstyle \frac{4^2}{9+\ddots}}}}}.

obtenido mediante la fórmula de la fracción continua de Euler aplicada a la función para ; $\ arcotán (x)$ $X = 1$

{\ estilo de visualización 2 \ pi = {6 + {\ frac {2 ^ {2}} {12 + {\ cfrac {6 ^ {2}} {12 + {\ frac {10 ^ {2}} {12+ { \ frac {14 ^ {2}} {12 + {\ frac {18 ^ {2}} {12+ \ ddots}}}}}}}}}}.}

Aproximaciones numéricas

Debido a su naturaleza trascendente, no hay expresiones finitas que representen . En consecuencia, los cálculos numéricos deben utilizar aproximaciones del número, truncándolo a un número que se considere suficiente de dígitos significativos. En muchos casos 3,14 es suficiente; en ingeniería, a menudo se usa 3.1416 (cinco dígitos significativos) o 3.14159 (6 dígitos significativos). $\ Pi$

\ pi \ simeq 3 {,} 14159 \ 26535 \ 8979 \ puntos

Un escriba egipcio llamado Ahmes es el autor del texto más antiguo conocido que contiene una aproximación de , el papiro Rhind , fechado en el siglo XVII a. C. y describe el valor como 256/81 o 3,160. $\ Pi$

Arquímedes ideó un método por el cual es posible obtener buenas aproximaciones de y lo usó para demostrar que está entre 223/71 y 22/7 (el promedio de los dos valores es de aproximadamente 3.1419). $\ Pi$

El matemático chino Liu Hui calculó 3,141014 (incorrecto desde el cuarto lugar decimal) en 263 y sugirió 3,14 como una buena aproximación. $\ Pi$

El matemático y astrónomo chino Zu Chongzhi calculó en el siglo V entre 3,1415926 y 3,1415927 y dio dos aproximaciones de : 355/113 y 22/7. $\ Pi$ $\ Pi$

El matemático y astrónomo iraní Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi , 1350-1439, calculó los primeros 9 dígitos en base 60 di , que son equivalentes en base decimal a los 16 dígitos: $\ Pi$

2 \ pi = 6.2831853071795865

El matemático alemán Ludolph van Ceulen (alrededor de 1600) calculó los primeros 35 decimales. Estaba tan orgulloso de su logro que lo tenía escrito en su lápida.

El matemático y jesuita polaco Adam Adamandy Kochański planteó en su tratado de 1685 una construcción geométrica que permite calcular un valor aproximado de acierto hasta el cuarto decimal. $\ Pi$

El matemático esloveno Jurij Vega en 1789 calculó los primeros 140 decimales de , de los cuales los primeros 137 fueron correctos, y ostentó el récord mundial durante 52 años, hasta 1841 , cuando William Rutherford calculó 208 decimales de los cuales los primeros 152 fueron correctos. Vega mejoró la fórmula propuesta por John Machin en 1706 . $\ Pi$

Otras posibles aproximaciones de : $\ Pi$

{\ estilo de visualización \ pi \ approx {\ frac {\ sqrt {2}} {10}} + 3 = 3 {,} 14142 \ puntos}

{\ sqrt [{2}] {{\ frac {227} {23}}}} = 3 {,} 14158 \ puntos

{\ sqrt [{3}] {31}} = 3 {,} 1413 \ puntos

{\ sqrt [{4}] {{\ frac {2143} {22}}}} = 3 {,} 14159 \ 26525 \ puntos

{\ sqrt [{5}] {306}} = 3 {,} 14155 \ puntos

{\ sqrt [{6}] {{\ frac {17305} {18}}}} = 3 {,} 1415924 \ puntos

Sin embargo, ninguna de las fórmulas anteriores puede proporcionar un método eficiente para aproximar . Para cálculos rápidos, se puede usar una fórmula como la de Machin: $\ Pi$

{\ frac {\ pi} {4}} = 4 \ arctan {\ frac {1} {5}} - \ arctan {\ frac {1} {239}}

Junto con el desarrollo de la serie de Taylor para la función . Esta fórmula se puede verificar fácilmente utilizando las coordenadas polares de los números complejos , a partir de: $\ arcotán (x)$

(5+i)^{4}\cdot(-239+i)=-114244-114244\,i.

Las fórmulas de este tipo se conocen como fórmulas de tipo Machin .

Las expansiones decimales muy largas de se calculan típicamente con el algoritmo de Gauss-Legendre y el algoritmo de Borwein; en el pasado también se utilizó el algoritmo Salamin-Brent, inventado en 1976 . $\ Pi$

La lista del primer millón de dígitos de y de se puede encontrar en el Proyecto Gutenberg (ver el enlace externo en la parte inferior de la página). $\ Pi$ $1 / \pi$

En diciembre de 2002 el cálculo alcanzó 1 241 100 000 000 dígitos (1.2411 × 10 12 ), calculado en septiembre de 2002 por Yasumasa Kanada en una supercomputadora Hitachi de 64 nodos con un terabyte de memoria principal, capaz de realizar 2 mil millones de operaciones por segundo, casi el doble de la computadora utilizada para el récord anterior (206 mil millones de cifras) .

Se utilizaron las siguientes fórmulas tipo Machin:

{\ frac {\ pi} {4}} = 12 \ arctan {\ frac {1} {49}} + 32 \ arctan {\ frac {1} {57}} - 5 \ arctan {\ frac {1} { 239}} + 12 \ arctan {\ fracción {1} {110443}}

K. Takano ( 1982 ).

{\ frac {\ pi} {4}} = 44 \ arctan {\ frac {1} {57}} + 7 \ arctan {\ frac {1} {239}} - 12 \ arctan {\ frac {1} { 682}} + 24 \ arctan {\ fracción {1} {12943}}

FCW Störmer ( 1896 ).

Tales aproximaciones precisas en realidad no se utilizan para ningún propósito práctico, excepto para probar el rendimiento de las nuevas supercomputadoras o para el análisis estadístico de las cifras de . $\ Pi$

En 1996 , David H. Bailey, junto con Peter Borwein y Simon Plouffe, descubrieron una nueva fórmula para calcular como una serie infinita: $\ Pi$

\ pi = \ suma _ {{k = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {1} {16 ^ {k}}} \ izquierda ({\ frac {4} {8k + 1}} - {\ fracción {2} {8k + 4}} - {\ fracción {1} {8k + 5}} - {\ fracción {1} {8k + 6}} \ derecha)

Esta fórmula le permite calcular fácilmente el -ésimo dígito binario o hexadecimal de sin tener que calcular todos los dígitos anteriores. El sitio web de Bailey contiene la implementación en varios lenguajes de programación . $k$ $\ Pi$

Algunas otras fórmulas utilizadas para calcular estimaciones de son: $\ Pi$

${\ frac {\ pi} {2}} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {k!} {(2k + 1) !!}} = 1 + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1 \ cdot 2} {3 \ cdot 5}} + {\ frac {1 \ cdot 2 \ cdot 3} {3 \ cdot 5 \ cdot 7}} + \ cdots$

de Newton ( indica el semifactorial ).

n !!

${\ estilo de visualización {\ frac {\ pi} {2}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(2n) (2n)} {(2n-1) (2n + 1) }} = {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdot {\ frac {8} {7}} \ cdot {\ frac {8} {9}} \ cdots}$

conocido como el producto infinito de Wallis .

${\ estilo de visualización {\ frac {2} {\ pi}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} {2} } {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}} {2}} \ cdots}$

conocida como la fórmula de Viète .

${\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {9801}} \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(4k )!(1103 + 26390k)} {(k!) ^ {4} 396 ^ {{4k}}}}$

por Ramanujan .

${\ frac {1} {\ pi}} = 12 \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} (6k)! (13591409 + 545140134k)} {(3k)! (K!) ^ {3} 640320 ^ {{3k + 3/2}}}}$

por David Chudnovsky y Gregory Chudnovsky .

${\ pi} = 20 \ arctan {\ frac {1} {7}} + 8 \ arctan {\ frac {3} {79}}$

por Euler .

${\ estilo de visualización \ pi = {\ frac {\ estilo de visualización \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ izquierda (1 + {\ frac {1} {4n ^ {2} -1}} \ derecha)} {\ estilo de visualización \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {4n ^ {2} -1}}}} = {\ frac {\ estilo de visualización \ izquierda (1 + {\ frac { 1} {3}} \ derecha) \ izquierda (1 + {\ frac {1} {15}} \ derecha) \ izquierda (1 + {\ frac {1} {35}} \ derecha) \ cdots} {\ estilo de visualización {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {15}} + {\ frac {1} {35}} + \ cdots}}}$

conocida como la fórmula simétrica

${\ estilo de visualización {\ frac {\ pi} {8}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} ({\ sqrt {2}} - 1 ) ^ {2k + 1}} {2k + 1}}.}$

{\ estilo de visualización {\ frac {\ pi} {12}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} (2 - {\ sqrt {3}} ) ^ {2k + 1}} {2k + 1}}.}

por Chebyshev

$\ pi = \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {2 (-1) ^ {k} \; 3 ^ {{{\ frac {1} {2}} - k} }} {2k + 1}}$
$\ pi = \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {3 ^ {{n}} - 1} {4 ^ {n}}} \ zeta (n + 1)$

Otras fórmulas de aproximación están contenidas en la siguiente tabla: [9] [10]

$\ pi = {\ fracción {1} {Z}}$	$Z = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {((2n)!) ^ {3} (42n + 5)} {(n!) ^ {6} {16 } ^ {{3n + 1}}}}$
$\ pi = {\ fracción {4} {Z}}$	$Z = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(-1) ^ {n} (4n)! (21460n + 1123)} {(n!) ^ {4} {441} ^ {{2n + 1}} {2} ^ {{10n + 1}}}}$
$\ pi = {\ fracción {4} {Z}}$	$Z = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(6n + 1) \ izquierda ({\ frac {1} {2}} \ derecha) _ {n} ^ { 3}} {{4 ^ {n}} (¡n!) ^ {3}}}$
$\ pi = {\ fracción {32} {Z}}$	$Z = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} \ left ({\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {2}} \ right) ^ {{8n}} { \ frac {(42n {\ sqrt {5}} + 30n + 5 {\ sqrt {5}} - 1) \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) _ {n} ^ {3} } {{64 ^ {n}} (¡n!) ^ {3}}}$
$\ pi = {\ fracción {27} {4Z}}$	$Z = \sum_ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} \ izquierda ({\ frac {2} {27}} \ derecha) ^ {n} {\ frac {(15n + 2) \ izquierda ({\ frac {1} {2}} \ derecha) _ {n} \ izquierda ({\ frac {1} {3}} \ derecha) _ {n} \ izquierda ({\ frac {2} {3} } \ derecha) _ {n}} {(n!) ^ {3}}}$
$\ pi = {\ fracción {15 {\ raíz cuadrada {3}}} {2Z}}$	$Z = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} \ izquierda ({\ frac {4} {125}} \ derecha) ^ {n} {\ frac {(33n + 4) \ izquierda ({\ frac {1} {2}} \ derecha) _ {n} \ izquierda ({\ frac {1} {3}} \ derecha) _ {n} \ izquierda ({\ frac {2} {3} } \ derecha) _ {n}} {(n!) ^ {3}}}$
$\ pi = {\ fracción {85 {\ raíz cuadrada {85}}} {18 {\ raíz cuadrada {3}} Z}}$	$Z = \sum_ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} \ izquierda ({\ frac {4} {85}} \ derecha) ^ {n} {\ frac {(133n + 8) \ izquierda ({\ frac {1} {2}} \ derecha) _ {n} \ izquierda ({\ frac {1} {6}} \ derecha) _ {n} \ izquierda ({\ frac {5} {6} } \ derecha) _ {n}} {(n!) ^ {3}}}$
$\ pi = {\ fracción {5 {\ raíz cuadrada {5}}} {2 {\ raíz cuadrada {3}} Z}}$	$Z = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} \ izquierda ({\ frac {4} {125}} \ derecha) ^ {n} {\ frac {(11n + 1) \ izquierda ({\ frac {1} {2}} \ derecha) _ {n} \ izquierda ({\ frac {1} {6}} \ derecha) _ {n} \ izquierda ({\ frac {5} {6} } \ derecha) _ {n}} {(n!) ^ {3}}}$
$\ pi = {\ fracción {2 {\ raíz cuadrada {3}}} {Z}}$	$Z = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(8n + 1) \ izquierda ({\ frac {1} {2}} \ derecha) _ {n} \ izquierda ({\ frac {1} {4}} \ derecha) _ {n} \ izquierda ({\ frac {3} {4}} \ derecha) _ {n}} {(n!) ^ {3} {9 } ^ {{n}}}}$
$\ pi = {\ fracción {{\ sqrt {3}}} {9Z}}$	$Z = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(40n + 3) \ izquierda ({\ frac {1} {2}} \ derecha) _ {n} \ izquierda ({\ frac {1} {4}} \ derecha) _ {n} \ izquierda ({\ frac {3} {4}} \ derecha) _ {n}} {(n!) ^ {3} {49 } ^ {{2n + 1}}}}$
$\ pi = {\ fracción {2 {\ raíz cuadrada {11}}} {11Z}}$	$Z = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(280n + 19) \ izquierda ({\ frac {1} {2}} \ derecha) _ {n} \ izquierda ({\ frac {1} {4}} \ derecha) _ {n} \ izquierda ({\ frac {3} {4}} \ derecha) _ {n}} {(n!) ^ {3} {99 } ^ {{2n + 1}}}}$
$\ pi = {\ fracción {{\ sqrt {2}}} {4Z}}$	$Z = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(10n + 1) \ izquierda ({\ frac {1} {2}} \ derecha) _ {n} \ izquierda ({\ frac {1} {4}} \ derecha) _ {n} \ izquierda ({\ frac {3} {4}} \ derecha) _ {n}} {(n!) ^ {3} {9 } ^ {{2n + 1}}}}$
$\ pi = {\ fracción {4 {\ raíz cuadrada {5}}} {5Z}}$	$Z = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(644n + 41) \ izquierda ({\ frac {1} {2}} \ derecha) _ {n} \ izquierda ({\ frac {1} {4}} \ derecha) _ {n} \ izquierda ({\ frac {3} {4}} \ derecha) _ {n}} {(n!) ^ {3} 5 ^ {n} {72} ^ {{2n + 1}}}}$
$\ pi = {\ fracción {4 {\ raíz cuadrada {3}}} {3Z}}$	$Z = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(-1) ^ {n} (28n + 3) \ izquierda ({\ frac {1} {2}} \ derecha) _ {n} \ izquierda ({\ frac {1} {4}} \ derecha) _ {n} \ izquierda ({\ frac {3} {4}} \ derecha) _ {n}} {(n !) ^ {3} {3 ^ {n}} {4} ^ {{n + 1}}}}$
$\ pi = {\ fracción {4} {Z}}$	$Z = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(-1) ^ {n} (20n + 3) \ izquierda ({\ frac {1} {2}} \ derecha) _ {n} \ izquierda ({\ frac {1} {4}} \ derecha) _ {n} \ izquierda ({\ frac {3} {4}} \ derecha) _ {n}} {(n !) ^ {3} {2} ^ {{2n + 1}}}}$
$\ pi = {\ fracción {72} {Z}}$	$Z = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(-1) ^ {n} (4n)! (260n + 23)} {(n!) ^ {4} 4 ^ {{4n}} 18 ^ {{2n}}}}$
$\ pi = {\ fracción {3528} {Z}}$	$Z = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(-1) ^ {n} (4n)! (21460n + 1123)} {(n!) ^ {4} 4 ^ {{4n}} 882 ^ {{2n}}}}$

Historia

Los pueblos antiguos a menudo usaban formas indirectas para expresar aproximadamente la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo . Los babilonios utilizaron para el valor de 25 ⁄ 8 = 3,125 (también utilizado por Vitruvio [11] ): una tablilla cuneiforme del siglo XX a. C., de hecho, observa que la relación entre la circunferencia y el perímetro de un hexágono inscrito es 3600 /3456 , es decir, 25/24. En el Papiro Rhind , sin embargo, se dice que un círculo de 9 unidades de diámetro equivale a un cuadrado de 8 de lado. De esta forma los egipcios asumieron el valor de ( 16 ⁄ 9 )² = 3,160. $\ Pi$

En el Antiguo Testamento aparentemente no se dice explícitamente que = 3. De hecho, está escrito: $\ Pi$

«Hizo el mar como un gran estanque de bronce fundido, de diez codos de una orilla a la otra: era perfectamente circular. Su altura era de cinco codos y un cordel de treinta codos medía su circunferencia”

( Segundo Libro de Crónicas , 4: 2 )

El texto, sin embargo, explica poco después que el borde se abrió "como el cáliz de un lirio" (es decir, presentó lo que un ingeniero moderno llamaría un "anillo de refuerzo" del borde superior), por lo que el diámetro medido en el borde era obviamente mayor que la de la circunferencia externa del tanque cilíndrico, haciendo que estos datos fueran inexactos para inferir un valor "bíblico" de pi. [12]

El primero en aproximar científicamente pi fue Arquímedes de Siracusa , quien en el siglo III aC usó polígonos regulares inscritos y circunscritos a una circunferencia . Al aumentar el número de lados, la relación entre el perímetro y el área limita arriba y abajo (ver también método de agotamiento ). $\ Pi$

Usando polígonos de 96 lados, el científico siracusano descubrió que 223 ⁄ 71 <π < 22 ⁄ 7 . [13]

En la Edad Media, en la India , Brahmagupta usa el valor [14], mientras que en China , Zu Chongzhi usa el valor 355 ⁄ 113 , que difiere en menos de 0,3 millonésimas del valor correcto. [15] ${\ sqrt {10}}$

El método de Arquímedes se aplicará hasta la edad moderna. En 1610 , Ludolph van Ceulen calculó los primeros 35 lugares decimales del uso de polígonos con más de 2 mil millones de lados. Ceulen, orgulloso de este logro, lo tendrá escrito en su tumba. $\ Pi$

También en la Edad Moderna se encuentran importantes infinitas expresiones:

Fórmula de Viète :

{\ displaystyle 2 {\ frac {2} {\ sqrt {2}}} {\ frac {2} {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}} {\ frac {2} {\ sqrt { 2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}}} \ ldots = \ pi;}

Fórmula de Leibniz :

{\ estilo de visualización {\ frac {1} {1}} - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {9}} - \ cdots = {\ frac {\ pi} {4}};}

Producto Wallis :

{\ estilo de visualización \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(2n) (2n)} {(2n-1) (2n + 1)}} = {\ frac {2} {1} } \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdot {\ frac {8} {7}} \ cdot {\ frac {8} {9}} \ cdots = {\ frac {\ pi} {2}}. }

En el siglo XVIII Euler , resolviendo el problema de Basilea encontró otra elegante serie:

{\ estilo de visualización {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + {\ fracción {1} {4 ^ {2}}} + \ cdots = {\ fracción {\ pi ^ {2}} {6}}.}

La identidad de Euler se debe también al matemático suizo , a veces considerada la fórmula matemática más hermosa que existe [16] ya que conecta las constantes matemáticas más importantes: el número de Napier , la unidad imaginaria , el 0 y el 1 . $\ Pi$ $Y$ $la$

{\ estilo de visualización e ^ {i \ pi} + 1 = 0.}

Estas fórmulas, aunque de poca o ninguna utilidad en el cálculo de la constante matemática, tienen un importante valor estético y revelan conexiones inesperadas entre varias ramas de las matemáticas .

Euler también popularizó el símbolo π, introducido en 1706 por el matemático inglés William Jones cuando publicó Una nueva introducción a las matemáticas , aunque anteriormente se había utilizado el mismo símbolo para indicar la circunferencia del círculo. La notación se volvió común después de que Euler la usara. En ambos casos es la primera letra de περίμετρος (perimetros), que significa "medir alrededor" en griego . Además, el símbolo fue utilizado inicialmente por el propio William Jones quien en 1706 lo usó en honor a Pitágoras (la inicial de Pitágoras en el alfabeto griego es precisamente Π, pero como es un número preferimos usar la minúscula). Sin embargo, todavía en 1739 Euler utilizó el símbolo . $\ Pi$ $\ Pi$ $pags$

La cuestión de la naturaleza de seguía abierta : Johann Heinrich Lambert demostró en 1761 que era un número irracional (se demostró que la arcotangente de cualquier número racional es irracional); ver la demostración de la irracionalidad de π . Adrien-Marie Legendre demostró en 1794 la irracionalidad de . Sin embargo, habrá que esperar hasta 1882 para la demostración, por parte de Ferdinand von Lindemann , de que se trata de un número trascendente , es decir, que no puede ser raíz de ningún polinomio con coeficientes racionales. $\ Pi$ ${\ pi} ^ 2$ $\ Pi$

Este último hecho demostró inequívocamente que la cuadratura del círculo con regla y compás es imposible.

En 1897 el matemático aficionado J. Goodwin propuso en el estado de Indiana un increíble proyecto de ley destinado a hacer posible la cuadratura del círculo cambiando el valor de pi [17] . El diseño preveía la introducción de una "nueva verdad matemática" ya que "la regla ahora en uso... no funciona" y "debe ser rechazada por ser insuficiente y engañosa para las aplicaciones prácticas" . El extravagante proyecto de ley fue aprobado por unanimidad por los 67 miembros de la Comisión de Educación. El proyecto de ley fue hundido solo después de la opinión negativa del matemático Clarence Waldo, quien casualmente estaba presente en el Senado .

Aquí hay una breve cronología esencial para determinar el valor de π :

En la antigüedad

Siglo XX a. C .: los babilonios usan 25⁄8 para (igual a 3,125 ) $\ Pi$
Siglo 17 a. C .: los egipcios ( Papiro Rhind ) usan π = ( 16 ⁄ 9 ) 2 = 3.1605
Siglo XII aC : los chinos usan 3 para $\ Pi$
434 aC : Anaxágoras intenta cuadrar el círculo con regla y compás
430 aC : Antífona el Sofista y Brisone de Heraclea expresan el principio de agotamiento
335 aC : Dinostratus usa la cuadratriz para cuadrar el círculo
Siglo III aC : Arquímedes , utilizando el método de agotamiento y compresión , calcula sobre polígonos de 96 lados que 223 ⁄ 71 < π < 22 ⁄ 7 [18] y encuentra también la aproximación π = 211875 ⁄ 67441 = 3,14163...
Siglo I a. C .: Vitruvio usa 25 ⁄ 8 [11]
Siglo II d. C .: Ptolomeo usa π = 377 ⁄ 120 = 3,14166… [19]
Siglo III d.C .: Chang Hong usa π = , Wang Fau usa π = 142 ⁄ 45 y Liu Hui usa π = 157 ⁄ 50 ${\ sqrt {10}}$

En la Edad Media

Siglo V (alrededor de 450): Zu Chongzhi descubre que 3,1415926 < π <3,1415927 y utiliza el valor 355 ⁄ 113 = 3,1415929...
Siglo VI (alrededor de 530): Aryabhata , India, usa el valor 62832 ⁄ 20,000 = 3.1416
Siglo VII (c. 650): Brahmagupta , en India, usa el valor = 3.1623 ${\ sqrt {10}}$
Siglo IX : al Khwarizmi usa 3.1416
1220 : Leonardo Fibonacci utiliza el valor 3,141818
1430 : al Kashi calcula los primeros 14 dígitos de $\ Pi$

En la edad moderna

1573 : Valenthus Otho calcula los primeros 6 dígitos de $\ Pi$
1593 : François Viète calcula 9 dígitos y Adriaan van Roomen 16 dígitos $\ Pi$
1596 : Ludolph van Ceulen calcula 20 dígitos de $\ Pi$
1610 : van Ceulen, 35 figuras
1621 : Willebrord Snell perfecciona el método de Arquímedes
1654 : Christiaan Huygens demuestra la validez del refinamiento de Snell
1655 : John Wallis encuentra un producto infinito racional para ; William Brouncker lo convierte a una fracción continua $\ Pi$
1663 : Muramatsu Shigekiyo en Japón encuentra 7 decimales exactos
1665 : Isaac Newton descubre el cálculo infinitesimal y calcula hasta el 16º decimal $\ Pi$
1671 : James Gregory descubre la serie arcotangente
1674 : Leibniz descubre la serie de arcotangentes para $\ Pi$
1699 : Abraham Sharp , 72 dígitos
1700 : Seki Kowa en Japón calcula 10 dígitos
1706 : John Machin , 100 cifras
1713 : La Corte China publica el Su-li Ching-yun y presenta los primeros 19 decimales de $\ Pi$
1719 : Thomas Fantet de Lagny calcula 127 dígitos, de los cuales 112 son correctos
1723 : Takebe Kenko en Japón calcula 41 dígitos
1730 : Kamata en Japón calcula 25 dígitos
1734 : Adoptado por Euler , se difunde el uso del símbolo $\ Pi$
1739 : Matsunaga , 50 dígitos
1748 : Euler publica la Introductio in analysis infinitorium que contiene el llamado Teorema de Euler y muchas series para y $\ Pi$ $\pi^{2}$
1761 : Johann Heinrich Lambert demuestra que es un número irracional $\ Pi$
1775 : Euler deriva una serie de arcotangentes que convergen rápidamente y especula que puede ser trascendente $\ Pi$

En la edad contemporánea

1794 - Jurij Vega , 140 cifras, de las cuales 136 son correctas
1794 - Adrien-Marie Legendre demuestra que (y por lo tanto ) es irracional y considera la posibilidad de que sea trascendente $\pi^{2}$ $\ Pi$ $\ Pi$
1841 - William Rutherford calcula 208 dígitos, de los cuales 152 son correctos
1844 - Zacharias Dase calcula 200 dígitos
1847 - Thomas Clausen , 248 figuras
1853 - Lehmann , 261 cifras
1853 - William Rutherford , 440 cifras
1855 - Richter, 500 dígitos
1874 - William Shanks , 707 cifras, pero solo 527 son correctas
1874 - Tseng Chi-hung calcula 100 cifras en China
1882 - Ferdinand von Lindemann demuestra que es trascendente. $\ Pi$

1947 - DF Ferguson : 620 decimales, usando una calculadora de escritorio
Enero de 1947 - DF Ferguson : 710 decimales (calculadora de escritorio)
Septiembre de 1947 - DF Ferguson : 808 decimales (calculadora de escritorio)
1949 - George Rietwiesner , John von Neumann y Nicholas Constantine Metropolis : 2037 cifras calculadas en 70 horas utilizando la ENIAC . A partir de ahora, todos los cálculos de los dígitos de pi se realizarán mediante calculadoras electrónicas.
1954 - La Marina de los EE. UU. calculó 3.089 cifras en 13 minutos en la presentación de la NORC , la supercomputadora encargada por IBM
1958 - "Centro de procesamiento de datos de París": 10 000 dígitos calculados en una hora y 40 minutos utilizando un IBM 704
1961 - John Wrench y Daniel Shanks (sin relación con William Shanks): 100 265 dígitos en 8 horas y 43 minutos, con un IBM 7090
1966 - "Centro de procesamiento de datos de París": 250.000 dígitos de pi con un IBM 7030 Stretch
1967 - "Centro de procesamiento de datos de París": 500.000 dígitos con una computadora CDC 6600
1973 - Jean Guilloud y M. Bouyer : 1 000 000 de cifras calculadas en 23 horas y 18 minutos con la computadora CDC 7600
1976 : Eugene Salamin y Richard Brent desarrollaron de forma independiente un algoritmo cuadráticamente convergente para el cálculo del algoritmo que luego resultó ser muy similar al de la evaluación de integrales elípticas de Carl Friedrich Gauss . $\ Pi$
1982 - Yoshiaki Tamura y Yasumasa Kanada : 8 388 608 dígitos en menos de 30 horas con el algoritmo Gauss-Brent-Salamin , con una Hitachi M-280H
1988 - Yasumasa Canadá : 201 326 000 cifras calculadas en 6 horas utilizando un Hitachi S-820
Mayo de 1989 - hermanos David Chudnovsky y Gregory Chudnovsky : 480 000 000 de cifras
Junio de 1989 - David Chudnovsky y Gregory Chudnovsky : 535 339 270 de cifras
Julio de 1989 - Yasumasa Canadá : 536 870 898 de cifras
Agosto de 1989 - David Chudnovsky y Gregory Chudnovsky : 1 011 196 691 dígitos (más de mil millones), en un IBM 3090
19 de noviembre de 1989: Yasumasa Kanada y Yoskiaki Tamura: 1 073 740 799 cifras (1 070 millones), HITAC S-3800/480
18 de mayo de 1994 - David Chudnovsky y Gregory Chudnovsky : 4.044.000.000 dígitos (más de 4 mil millones), utilizando una computadora doméstica. Detalles desconocidos, registro no verificado.
26 de junio de 1994 - Yasumasa Kanada y Daisuke Takahashi: 3 221 220 000 cifras (3,22 mil millones) [20]
11 de octubre de 1995 - Yasumasa Kanada y Daisuke Takahashi: 6 442 450 000 cifras (6440 millones) [21]
1997 - Yasumasa Kanada y Yoshiaki Tamura: 51 539 607 552 cifras (51 500 millones) calculadas en poco más de 29 horas usando una computadora Hitachi SR2201 [22]
5 de abril de 1999 - Yasumasa Kanada y Daisuke Takahashi: 68 719 470 000 cifras (68 720 millones) [23]
20 de septiembre de 1999 - Yasumasa Kanada y Daisuke Takahaski: 206 158 430 000 cifras (206 160 millones) [24]

2002 - Yasumasa Canadá : 1241,1 mil millones de cifras calculadas en 600 horas (25 días) con un Hitachi SR8000/MPP en 128 nodos [25] .
29 de abril de 2009 - Daisuke Takahashi : 2 576 980 377 524 dígitos (2 576 mil millones) en 29,09 horas con una Supercomputadora T2K Open a 640 nudos (velocidad de cada nodo: 147,2 GigaFLOPS ), en la Universidad de Tsukuba en Tsukuba , Japón . [26]
31 de diciembre de 2009 - Fabrice Bellard : 2 699 999 990 000 [27] de cifras (casi 3000 mil millones) en 121 días de cálculo total, utilizando un ordenador doméstico equipado con una CPU Intel Core i7 de 2,97 GHz , 6 GB de RAM y 7,5 TB de memoria fija compuesta por 5 discos duros Seagate Barracuda de 1,5 TB cada uno. El cálculo se realizó mediante el algoritmo de Chudnovsky .
2 de agosto de 2010 - Shigeru Kondo: 5 000 000 000 000 [28] de cifras (5 000 billones) en 90 días de cálculo total, usando una computadora personal modificada, equipada con 2 procesadores Intel Xeon X5680 3.33 GHz (12 núcleos físicos, 24 con hyperthreading ) y 96 GB de RAM DDR3 1066 MHz obtenidos al combinar 12 bancos de 8 GB de RAM; para obtener el resultado utilizó la aplicación y-cruncher [29] , desarrollada por Alexander Yee, sobre un sistema operativo Microsoft Windows Server 2008 .

29 de enero de 2020 : el estadounidense Timothy Mullican calcula 50 billones de cifras y tarda 303 días en realizar el cálculo utilizando varias computadoras y servidores . [30]

Cuestiones pendientes

La pregunta abierta más apremiante sobre si es normal o no, es decir, si la frecuencia con la que está presente cada secuencia de dígitos es la misma que se esperaría si los dígitos fueran completamente aleatorios. Esto tiene que ser cierto en todas las bases, no solo en la base 10. [31] No sabemos mucho sobre esto; por ejemplo, ni siquiera sabemos cuál de los dígitos 0,…, 9 ocurre infinitas veces en el desarrollo decimal de , [32] aunque es claro que al menos dos dígitos deben ocurrir infinitas veces, ya que de lo contrario sería racional, mientras no lo es. $\ Pi$ $\ Pi$ $\ Pi$

Bailey y Crandall demostraron en 2000 que la existencia de la mencionada fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe y fórmulas similares implica que la normalidad basada en se deduce de una conjetura plausible de la teoría del caos . [33] $2$ $\ Pi$

También se desconoce si y el número de Napier son algebraicamente independientes , aunque Yuri Valentinovich Nesterenko demostró la independencia algebraica de {π, y π , Γ (1/4)} en 1996. [34] $\ Pi$ $Y$

La naturaleza de Pi

Mientras que en la geometría euclidiana la suma de los ángulos internos de un triángulo medidos en radianes es necesariamente igual a , en las geometrías no euclidianas la misma suma puede ser mayor ( geometría elíptica ) o menor ( geometría hiperbólica ) y la relación entre una circunferencia y su el diámetro puede no ser . Esto no cambia la definición de , sino que cambia la constante que aparece en las fórmulas (que se convierte en un número distinto de ). Entonces, en particular, no está relacionado con la forma del universo ; es una constante matemática, no física. $\ Pi$ $\ Pi$ $\ Pi$ $\ Pi$ $\ Pi$

Ley de Pi de Indiana

En 1897, en los Estados Unidos de América , se presentó un proyecto de ley a la Asamblea General del estado de Indiana , [35] redactado por el matemático y físico aficionado Edward (o Edwin) J. Goodwin, en el que el autor presentaba como solucionador de los problemas de trisección del ángulo , duplicación del cubo y cuadratura del círculo (cuya imposibilidad de solución estaba, en su momento, ya ampliamente demostrada) y ofreció a las escuelas públicas el libre uso de su "nueva verdad matemática", patentado por él. El texto no menciona específicamente , pero de las afirmaciones presentes en él se pueden deducir varios valores, mutuamente contradictorios, entre ellos el de 3.2. $\ Pi$

El proyecto pasó por varias etapas del proceso legislativo, pero finalmente fue abandonado cuando fue presentado al Senado para su aprobación final; El profesor Clarence Abiathar Waldo, matemático y miembro de la Academia de Ciencias de Indiana, informó más tarde [36] que estaba casualmente presente en el Senado el día que se iba a discutir el proyecto de ley y que había "instruido adecuadamente" al respecto. los senadores antes de la discusión.

Influencias culturales

El 14 de marzo se celebra como el " día de pi ", ya que, en su escritura anglosajona (3/14), recuerda la aproximación más común de . [37] : desde 2020, la UNESCO proclama el 14 de marzo como el Día Internacional de las Matemáticas. [38] De hecho, pi es uno de los números irracionales más famosos incluso fuera del ámbito matemático, además de ser uno de los protagonistas indiscutibles del panorama matemático [39] . Otra posible fecha para celebrar pi es el 22 de julio, ya que el 22/7 es una famosa fracción, conocida desde la época de Arquímedes , que se aproxima . $\ Pi$ $\ Pi$

La estrella del pop Kate Bush ha dedicado íntegramente al número la segunda canción (titulada precisamente ) de su octavo álbum Aerial , de 2005 , en la que recitaría sus primeros 140 dígitos. π 3.14 es también el título del quinto álbum de los Rockets , de 1981 . Otros músicos y artistas en general también han dedicado algunas de sus obras a la constante. $\ Pi$ $\ Pi$

π - El teorema del delirio es el título de un thriller de 1998 dirigido por el director Darren Aronofsky .

En la película de 2012 La vida de Pi , dirigida por Ang Lee , el protagonista, el joven indio Piscine Molitor Patel, decide acortarlo a Pi, apodo que se pronuncia exactamente así ; para hacer amigos recordar, aprender y memorizar muchos lugares decimales de . $\ Pi$ $\ Pi$

Técnicas mnemotécnicas

Es posible utilizar la siguiente frase para recordar las primeras 19 cifras del número pi, asociando a cada una de las palabras el número correspondiente de las letras que lo componen: "Ave, o Roma, o Madre incondicional de las virtudes latinas que tanto derramaste". mucho pródigo esplendor brillante con la tu sabiduría ".

Notas

^ Sequenza A000796 , en Enciclopedia en línea de secuencias enteras , Fundación OEIS.
^ Pi a 1.000.000 de lugares , en 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com . Consultado el 13 de diciembre de 2021 .
^ Un cálculo con el programa Mathematica dio los siguientes resultados: 1 000 términos 3.1458…; 10 000 términos 3.1424…; 100.000 términos 3,1417 ...
^ Carl B. Boyer , Historia de las matemáticas , Oscar saggi Mondadori, 2000, cap. 21
^ Algunos resultados obtenidos con el programa Mathematica : 1 000 términos 3.0603…; 5.000 términos 3.1027…; 50.000 términos 3.1324…; 500.000 términos 3,1379…; 2 millones de términos 3.1398…; 3 millones de términos 3.1404 ...
↑ Fue de Morgan quien cien años después con algunos de sus alumnos utilizó el método de la aguja para estimar pi: con 600 tiradas obtuvo 382 casos favorables, obteniendo 3,14. Sin embargo, el método tiene una convergencia lenta: para encontrar el tercer decimal se necesitan decenas de miles de lanzamientos. $\ Pi$
^ a b Sequenza A001203 , en Enciclopedia en línea de secuencias enteras , Fundación OEIS.
^ LJ Lange, Una fracción continua elegante para π , en The American Mathematical Monthly , vol. 106, núm. 5, mayo de 1999, págs. 456–458, DOI : 10.2307/2589152 , JSTOR 2589152 .
^ El mundo de Pi - Simon Plouffe / David Bailey
^ Colección de series para π
^ a b De Architectura X, 9, 1, en línea en LacusCurtius .
↑ Esta explicación también se conocía en el Talmud y se informa junto con muchas otras en [1] (p. 139). Ver también: [2] o [3] . Otras explicaciones son menos confiables porque los primeros manuscritos de la Biblia hebrea datan del siglo X d.C.
^ Boyer 1991 pág. 149
^ Boyer 1991 pág. 256
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Bibliografía

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Otros proyectos

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Enlaces externos

pi grèco , en Treccani.it - Enciclopedias en línea , Instituto de la Enciclopedia Italiana .

( EN ) Pi , en Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

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Matemáticas del planeta : Pi
Historia del cálculo de Pi por Alessandra Del Piccolo - Polymath Project, en www2.polito.it . Consultado el 16 de febrero de 2007 (archivado desde el original el 7 de enero de 2007) .
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¿El PI? No tiene derechos de autor del Corriere della Sera.

Sitios con fórmulas para calcular π

Nacimiento, crecimiento y cómputo de pi (artículo muy detallado)
Fórmulas Pi en Wolfram Math World
Colección de Series para pi , en numbers.computation.free.fr .

Sitios con los dígitos de π

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