Superficie

Algunas superficies

Piso

Elipsoide
( Cuádrica )

Saddle
( Gráfica de una función )

Hiperboloide
( superficie reglada )

Helicoide
( superficie mínima )

Toro

Cinta de Mobius
( superficie no orientable )

Superficie de rotación

En matemáticas , una superficie es una forma geométrica sin grosor, que tiene solo dos dimensiones. Una superficie puede ser plana (como un plano ) o curva (como el borde de una esfera o un cilindro ). Puede ser limitado o ilimitado, cerrado o abierto.

Hay varias definiciones matemáticas de superficie: todas están contenidas en la noción de "superficie abstracta" y de variedad diferenciable . En los casos más comunes el término se utiliza para referirse a superficies en un espacio tridimensional.

Definición

Informalmente, una superficie es un objeto geométrico ideal sin espesor, que tiene dos dimensiones. Algunos objetos reales se acercan a esta noción abstracta: por ejemplo, una lámina muy delgada.

Formalmente, la definición de superficie en el espacio requiere nociones matemáticas no triviales propias de la geometría diferencial

Un subconjunto del espacio euclidiano tridimensional es una superficie si para cada punto contenido en hay una vecindad abierta y una función de clase

tal que se corta precisamente en los puntos donde cancela:

y tener un gradiente distinto de cero en todas partes :

En otras palabras, el conjunto es una superficie si es expresable localmente como un lugar geométrico de ceros de una función. La condición de que el gradiente sea distinto de cero garantiza, mediante el teorema de Dini , que la superficie sea un objeto uniforme en todos los puntos.

Construcción

Una superficie se puede construir de varias formas.

Forma paramétrica

Una superficie puede construirse como una imagen de una función inyectiva diferenciable de dos variables reales en un espacio euclidiano tridimensional

donde es un conjunto de planta abierta . Para obtener un objeto liso, también se requiere que el diferencial de sea inyectivo en cada punto : en otras palabras, debe ser una inmersión .

Con esta construcción las coordenadas de los puntos de la superficie se expresan fácilmente a través de las ecuaciones paramétricas :

ya que los dos parámetros varían al aire libre .

Esta es la definición generalmente más útil a efectos prácticos, ya que permite el cálculo de áreas e integrales de superficie de una forma sencilla .

Forma implícita global

Una superficie se puede construir globalmente como un lugar geométrico de ceros de una sola función diferenciable

llamada ecuación cartesiana . Para obtener un objeto uniforme, el gradiente de debe ser distinto de cero en cada punto de . Tenga en cuenta que la definición general de una superficie requiere que dicha función exista solo localmente.

Gráfica de una función

La gráfica de una función diferenciable

definida en una parte abierta del plano cartesiano es una superficie. [1] La superficie se puede indicar implícitamente mediante la ecuación

Si el dominio es todo el plano , la superficie es por lo tanto el lugar geométrico de los ceros de la función implícita global

La superficie también se puede describir en forma paramétrica tomando

Sin embargo, muchas superficies no son gráficas de funciones, como la superficie esférica .

Superficie de rotación

Una superficie de rotación (o revolución ) se obtiene girando una curva alrededor de un eje. El eje puede ser uno de los tres ejes cartesianos o cualquier línea recta.

Conceptos Básicos

Área

El área de una superficie expresada en forma paramétrica mediante una función con dominio se define mediante las herramientas de cálculo integral de la siguiente manera:

La fórmula contiene una integral múltiple , las derivadas parciales de la función y el producto vectorial . De manera similar, se define la integral de una función que tiene la superficie como dominio: esta operación se llama integral de superficie .

normales

Un plano tangente se define en cada punto de una superficie . El plano tangente se describe con las herramientas que proporciona el álgebra lineal y el cálculo en varias variables.

Una normal en es un vector perpendicular al plano tangente, que tiene una unidad de longitud. En cada punto tiene dos normales, en direcciones opuestas.

Curvatura

La curvatura es una propiedad fundamental de las superficies en el espacio. En cada punto de la superficie hay dos curvaturas principales y la curvatura gaussiana se define como el producto de estas dos cantidades.

La curvatura gaussiana puede ser positiva, cero o negativa. En un plano, la curvatura es cero y se mantiene la geometría euclidiana habitual ; sobre superficies con curvatura positiva o negativa es posible definir geometrías no euclidianas , llamadas respectivamente elípticas e hiperbólicas . En estas geometrías, las habituales líneas euclidianas se sustituyen por geodésicas , curvas en la superficie que minimizan (localmente) la distancia entre dos puntos.

La topología es una rama de la geometría que estudia las propiedades de los objetos geométricos que permanecen sin cambios cuando la deformación se realiza sin "sacudidas".

Género

El género de una superficie es informalmente el "número de manijas" que contiene.

Ajustabilidad

Una superficie es orientable si tiene dos caras (una "arriba" y una "abajo"), de lo contrario no es orientable . Al contrario de lo que sugiere la intuición, en realidad existen superficies con una sola cara: el prototipo es la cinta de Möbius .

Tipología

Superficies algebraicas

Una ecuación polinomial en las tres variables , como

define una superficie algebraica . Para que el lugar geométrico de los ceros sea realmente una superficie lisa, el diferencial de la ecuación debe ser distinto de cero en cada punto. Generalmente, sin embargo, se habla de una "superficie algebraica" incluso cuando esta condición no se cumple: en este caso, pueden ocurrir puntos no lisos llamados singularidades .

Si el polinomio es de primer grado, la superficie es un plano. Las superficies que se pueden describir con ecuaciones de 2°, 3°, 4°, 5° grado se denominan cuádrica , cúbica , cuártica , quíntica , etc. El séxtico que se muestra en la figura tiene algunas singularidades.


Piso

cuádrica

Cuartica

Sextica

Cuadráticas

Una cuádrica es una superficie algebraica de segundo grado. Las cuádricas se clasifican con las herramientas del álgebra lineal (esencialmente el teorema espectral ). Las cuádricas no degeneradas se dividen en cinco tipos:


elipsoide

paraboloide elíptico

paraboloide hiperbólico

Hiperboloide de una aleta

Hiperboloide de dos solapas

Superficies regladas

Una superficie está reglada si es una unión de (infinitas) líneas.


Piso

Cilindro

paraboloide hiperbólico

helicoide

Superficie desarrollable

Superficies mínimas

Una superficie es mínima si tiene (localmente) un área mínima entre todas las que tienen un borde fijo. Matemáticamente, esta condición es equivalente a requerir que la superficie tenga una curvatura media cero en todas partes. En la naturaleza, algunas estructuras tienden a organizarse de tal manera que minimizan el área y, por lo tanto, forman superficies mínimas.


Catenoide

helicoide

Superficie de Scherk

Superficies cerradas

Una superficie es cerrada si es limitada e ilimitada, como en una esfera . Con el estricto lenguaje de la topología , una superficie es cerrada si es compacta . [2]


superficie esférica

Toro

Borde de un
cuerpo con asas

toro anudado

Generalizaciones

Superficie abstracta

En topología , rama importante de la geometría , se estudia una noción más general de superficie. La superficie estudiada en este contexto es un objeto más abstracto, que "tiene vida propia", no necesariamente contenido en un espacio tridimensional.

Formalmente, una superficie abstracta es una variedad topológica de Hausdorff con dimensión 2. Muchas superficies abstractas pueden representarse en el espacio, pero no todas: por ejemplo, la botella de Klein no es visible dentro del espacio tridimensional (sin embargo, puede representarse en cuatro dimensiones). espacio euclidiano dimensional ).

En muchos contextos, es más útil definir una superficie como una variedad diferenciable que como una topológica. La diferencia, sin embargo, no es sustancial.

Otro ejemplo de superficie abstracta (o algebraica) es la Superficie Veronesa , que solo puede representarse en un espacio proyectivo de al menos cinco dimensiones, mientras que la Trompeta de Torricelli es otra superficie paradójica que puede dibujarse en tres dimensiones.

Superficies sumergidas

Una superficie sumergida es una superficie que puede intersecarse a sí misma. Más precisamente, es la imagen de una inmersión

de una superficie abstracta . Por lo tanto, se requiere que tenga inyectivo diferencial en todas partes: esta hipótesis garantiza que es localmente inyectivo, pero no globalmente.

Por ejemplo, la botella de Klein generalmente se muestra en un espacio tridimensional a través de una inmersión: la superficie se corta a sí misma a lo largo de una circunferencia. Otra superficie sumergida es la superficie de Boy : en este caso se trata de un plano proyectivo real , una superficie no orientable que, como la botella de Klein, no puede ser contenida en el espacio.

Superficies complejas

En el contexto de la geometría compleja , una superficie compleja es una variedad compleja de dimensión 2. Es un objeto completamente diferente de la superficie habitual, ya que tiene una dimensión 4 topológicamente real.

Finalmente, dependiendo de los contextos, el término superficie puede usarse para indicar estructuras con características diferentes a las mencionadas anteriormente; por ejemplo, podemos llamar brevemente a una superficie una hipersuperficie en un espacio euclidiano (o en una variedad diferenciable ), es decir, una variedad con una dimensión menor que la del espacio ambiental (pero no necesariamente 2), a veces también hablamos de superficies fractales , que indican estructuras fractales construidas a partir de una superficie, pero que, en última instancia, no conservan ninguna característica específica.

Teoremas

Teorema de Gauss-Bonnet

Teorema de Stokes

Las superficies compactas se clasifican en topología hasta el homeomorfismo por tres parámetros: género , número de componentes de borde y capacidad de ajuste .

En topología, también se suelen considerar superficies de tipo finito , obtenidas a partir de superficies compactas eliminando un número finito de puntos y creando así pinchazos . Una superficie picada nunca es compacta. Al igual que las superficies compactas, las de tipo finito se clasifican por cuatro parámetros: el tipo, el número de componentes de borde, la orientabilidad y el número de pinchazos.

Teorema de uniformización

Notas

  1. ^ En este caso, la diferenciabilidad es suficiente para obtener un objeto suave.
  2. ^ En algunos contextos, se solicita que la superficie sea "sin bordes": con la definición dada en este elemento, esta condición adicional no es necesaria.

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