Polígono

En geometría un polígono (del griego πολύς (polys, "muchos") y γωνία (gōnia, "ángulo") es una figura geométrica plana delimitada por una línea discontinua cerrada . Los segmentos que forman la línea discontinua cerrada se denominan lados del polígono y los puntos en común con dos lados consecutivos se llaman vértices del polígono.

Definición

Una definición de un polígono es la siguiente.

Un polígono es la parte del plano limitada por una línea quebrada cerrada.

Recuerda que una línea quebrada es el conjunto finito y totalmente ordenado de segmentos, llamados lados, que son claramente consecutivos y claramente no adyacentes. Una línea discontinua se cierra cuando el segundo extremo del último segmento coincide con el primer extremo del primero. Una línea quebrada es simple (o no entrelazada ) si dos lados no sucesivos, según el ordenamiento asignado, no se cortan (aparte del primero y del último lado que pueden tener en común el primero y el segundo extremo respectivamente).

El punto en común a dos lados consecutivos se llama vértice .

En la parte delimitada

El hecho de que una línea quebrada cerrada que no está entrelazada delimite efectivamente una porción de un plano es, aunque intuitivo, un resultado no trivial de la geometría plana : es una consecuencia del teorema de la curva de Jordan .

Una definición constructiva es la siguiente: un punto del plano pertenece al polígono si (con un número finito de excepciones como máximo) todos los rayos que salen de él cortan al segmento en un número finito e impar de puntos distintos. $PAGS.$ $PAGS.$

Clasificación

Número de lados

Una primera clasificación de un polígono se refiere a su número de lados (ver nombres de polígonos ).

Convexidad

Un polígono es:

simple si los lados del polígono no se cortan. complejo (o entrelazado) si no es fácil.

Un polígono simple es:

convexo si cada ángulo interior es menor o igual a un ángulo llano (o, lo que es lo mismo, si la extensión imaginaria de cada segmento que une dos de sus vértices sale fuera del polígono). cóncavo si incluso un solo ángulo interno es mayor que (o, de manera equivalente, si la extensión imaginaria de uno o más segmentos cae dentro del polígono).

180 ^ {\ círculo}

Simetría con igualdad

Según la simetría, un polígono es:

equilátero si todos sus lados son iguales. equiángulo si todos sus ángulos son iguales. cíclico si todos sus vértices se encuentran en una sola circunferencia. regular si es convexo, equilátero y equiángulo (o, equivalentemente, si es cíclico y equilátero). irregular si no es regular.

Propiedades

Esquinas

La suma de los ángulos internos de un polígono es igual a tantos ángulos llanos como lados ( ), menos dos $norte$

{\ estilo de visualización 180 ^ {\ circ} \ veces (n-2).}

Por ejemplo, el polígono de la figura tiene cinco lados, y por lo tanto:

\alpha + \beta + \gamma + \delta + \varepsilon = (5-2) \times 180^{\circ} = 540^{\circ}.

La demostración se puede realizar por inducción : en un triángulo la suma de los ángulos es , y tomando cualquier polígono una de sus diagonales lo divide en otros dos polígonos de menor número de lados, por lo que se puede utilizar la hipótesis inductiva. $180 ^ {\ círculo}$

La suma de los ángulos externos de un polígono convexo de lados es igual a $norte$

(360 ^ {\ circ} \ times n) - [180 ^ {\ circ} \ times (n-2)] = 180 ^ {\ circ} \ times (n + 2).

Como la suma de todos los ángulos externos e internos es evidentemente a veces igual a un ángulo redondo: restando la suma de los internos del total, tendremos la suma de los externos. $norte$

Área

Con la fórmula del área de Gauss es posible calcular el área de un polígono cuyos vértices tienen coordenadas cartesianas de la siguiente manera: $norte$ $(x_ {i}; y_ {i}) _ {{i = 1, \ ldots, n}}$

A = {\ frac {1} {2}} \ izquierda | \ sum _ {{i = 1}} ^ {{n}} x_ {i} y _ {{i + 1}} - \ sum _ {{ i = 1}} ^ {{n}} x _ {{i + 1}} y_ {i} \ derecho |

con el acuerdo de que . $(x _ {{n + 1}}; y _ {{n + 1}}) = (x_ {1}; y_ {1})$

Con esta fórmula podemos derivar una superficie de cualquier figura plana a través de las coordenadas de sus vértices. Es una fórmula muy utilizada en topografía y trigonometría.

Nombres de polígonos

Distinción basada en el número de lados y, por tanto, de ángulos:

N° lados	Nombre de pila
3	Triángulo
4	Cuadrilátero
5	Pentágono
6	Hexágono
7	Heptágono
8	Octágono
9	Ennagono
10	Decágono
11	Endecágono
12	Dodecágono
13	Tridecágono
14	tetradecágono
15	Pentadecágono
dieciséis	hexadecágono
17	heptadecágono
18	Octadecágono
19	Ennadecágono
20	Icoságono
21	endeicoságono
22	Doicoságono
23	triaicoságono
24	tetraicoságono
25	pentaicoságono
26	hexaicoságono
27	heptaicoságono
28	Octaicoságono
29	Ennaicoságono
30	Triacontágono
36	hexatriacontagon
40	tetracontagono
45	Pentatetracontagon
48	Octatetracontagon
50	pentacontagon
60	hexacontágono
70	Heptacontagon
72	Doeptacontagon
80	Octacontagono
90	Ennacontagono
99	ennacontacaiennagono
100	Hectágono
257	257-gono
1 000	Chiliágono
10 000	miriagono
65537	65537-gono

Otros proyectos

Wikimedia Commons contiene imágenes u otros archivos en polígono

Enlaces externos

( EN ) Polygon , en Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

( FR ) polígonos, poliedros y politopos de Mathcurve , Encyclopédie des formes Mathématiques remarquables
( EN ) LA Sidorov, Polygon , en Encyclopaedia of Mathematics , Springer y European Mathematical Society, 2002.