Número

En matemáticas , un número es una forma de expresar una cantidad, o la posición en una lista de elementos, o la relación de cantidades del mismo tipo. [1] El concepto de número surge de la necesidad de contar, como una abstracción del concepto de cantidad, realizado a través de una correspondencia biunívoca entre elementos de dos conjuntos distintos .

Una operación numérica se define como un procedimiento que, partiendo de uno o más números, genera otro número. Las operaciones numéricas fundamentales (también llamadas "operaciones aritméticas") son: suma , resta , multiplicación y división . El estudio de las propiedades de estas operaciones es parte del álgebra elemental .

Un conjunto de números se expresa frecuentemente a través del concepto de campo .

Tipos de números

Un número que expresa el tamaño de un conjunto de elementos, así como un número que identifica la posición en una sucesión de objetos, se denomina número natural . La necesidad de expresar una cantidad en relación con otra cantidad hizo necesario introducir otras clases de números, como los números racionales y los números reales . Finalmente, la necesidad de representar el número obtenido mediante una operación matemática justificó el uso de otras clases de números como, por ejemplo, los números algebraicos .

Números naturales $\matemáticas {N}$

A lo largo de la historia de las matemáticas se han definido varios conjuntos numéricos . Entre estos los números naturales , que son:

{\ estilo de visualización 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, \ ldots}

Los números naturales (cuyo conjunto se indica convencionalmente con el símbolo ) se utilizan para contar y ordenar . La presencia de cero entre los números naturales depende de la convención elegida. El cero es predicho por los axiomas de Peano . $\matemáticas {N}$

El conjunto de los números naturales constituye una secuencia ordenada . Cada número se describe con uno o más dígitos .

Números enteros relativos $\matemáticas {Z}$

Si a partir del conjunto de los números naturales se introduce el signo (y el cero si no se incluye), distinguiendo entre números positivos y negativos , se obtienen los números enteros relativos (o simplemente enteros ), cuyo conjunto se indica convencionalmente con el símbolo . Los enteros relativos son: $\matemáticas {Z}$

\ puntos -3, -2, -1,0,1,2, \ puntos

Números racionales $\ matematicas {Q}$

Si a partir de los números enteros se construyen los números dados por la razón entre ellos, se obtienen los números racionales , que por lo tanto pueden expresarse mediante una fracción ( razón en latín , de ahí el nombre de números "racionales"). Por ejemplo:

{\ fracción 23}, - {\ fracción 74}, {\ fracción {11} {17}}, \ puntos

El conjunto de todos los números racionales se indica convencionalmente con el símbolo . $\ matematicas {Q}$

Números algebraicos

Los números algebraicos son números que se obtienen como raíces de ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros. Los números racionales son algebraicos. Lo contrario no es generalmente cierto; por ejemplo:

{\ raíz cuadrada {2}}, {\ raíz cuadrada [{3}] 5}, {\ raíz cuadrada {{\ fracción {{\ raíz cuadrada 3}} {11}}}}

son números algebraicos que no se pueden describir con una fracción, no son racionales.

Un número no algebraico se llama trascendente . Por ejemplo, ( pi ) y son trascendentes: no es posible obtener como raíz de una ecuación polinomial con coeficientes enteros. $\ Pi$ $Y$ $\ Pi$

Números reales $\ matematicas {R}$

El conjunto de los números reales incluye números que se pueden expresar, con o sin coma, mediante el sistema numérico decimal . Los números reales incluyen los números enumerados anteriormente. En particular, los números reales se dividen en racionales e irracionales, o en algebraicos y trascendentes.

El conjunto de los números reales se simboliza por convención con . $\ matematicas {R}$

Números complejos ${\ matemáticasbb {C}}$

El conjunto de los números reales no proporciona todas las soluciones de las ecuaciones algebraicas . Por ejemplo, la ecuación:

x ^ {2} = - 1

no tiene solución en el campo de los números reales, porque el cuadrado de un número real siempre es positivo o nulo. Para resolver este problema, se introdujo la unidad imaginaria . Se define de la siguiente manera: $la$

yo ^ {2} = - 1.

Este número no pertenece al conjunto de los números reales, pertenece al conjunto de los números complejos . En general, un número complejo es una expresión como:

un + bi

donde es la unidad imaginaria y son números reales. El conjunto de los números complejos se indica por convención con el símbolo . $la$ $un, b$ ${\ matemáticasbb {C}}$

Los conjuntos numéricos son cada uno un subconjunto del otro, de acuerdo con este orden (donde el símbolo indica inclusión estricta ): $\ subconjunto$

{\ mathbb {N}} \ subconjunto {\ mathbb {Z}} \ subconjunto {\ mathbb {Q}} \ subconjunto {\ mathbb {R}} \ subconjunto {\ mathbb {C}}

Conjuntos hipercomplejos

Para propósitos particulares, puede extenderse aún más, pero al precio de perder algunas propiedades y, en consecuencia, sufrir una degradación como estructura algebraica. ${\ matemáticasbb {C}}$

Cuaterniones ${\ matemáticasbb {H}}$

Los números complejos se ampliaron y dieron lugar a los cuaterniones . La operación de multiplicación de cuaterniones no disfruta de la propiedad conmutativa .

Ottonioni ${\ matemáticasbb {O}}$

Los octoniones extienden los cuaterniones . Esta vez se pierde la propiedad asociativa . Los únicos sistemas asociativos de dimensión finita, además de los complejos, son los cuaterniones.

sedenioni ${\ matemáticasbb {S}}$

Al extender los octoniones, se obtienen los sedeniones , que pierden la propiedad del álgebra alternativa , pero aún conservan la propiedad asociativa de la potencia .

Notación

Los números deben distinguirse por medio de nombres , ya que los números son conceptos y aunque los nombres utilizados en los distintos idiomas varían, los conceptos siguen siendo los mismos. La notación numérica como una serie de dígitos se define mediante sistemas numéricos . Los pueblos suelen asociar nombres particulares a números de uso frecuente, además de los asignados por el sistema de numeración, estos nombres suelen ser utilizados en contextos específicos, siendo un ejemplo clásico la docena .

Extensiones de los Reales

Los últimos desarrollos en teoría de números han llevado a números hiperreales y números surrealistas , que extienden los números reales de números infinitesimales a números infinitamente grandes a través de inserciones. Si bien los números reales se pueden extender infinitamente a la derecha del punto decimal, también se puede intentar expandir los números a la izquierda infinitamente, lo que conduce a números p-ádicos . Para manejar conjuntos infinitos, los números naturales se han generalizado en números ordinales y números cardinales . El primer conjunto se utiliza para definir el orden de inserción de los conjuntos, el segundo define el formato de inserción. En el caso de conjuntos finitos son equivalentes.

Las operaciones aritméticas con números son la suma , la resta , la multiplicación y la división . Estas operaciones se han generalizado en una rama del álgebra llamada álgebra abstracta . Contiene los conceptos de grupo , anillo y campo .

Similitudes en varias culturas

En muchas culturas la representación gráfica de los números es muy similar. Los números "uno", "dos" y "tres" de los antiguos romanos se expresaban como I, II, III ( números romanos ). Los chinos usaban una notación similar, con los dígitos en posición horizontal o vertical, pero a diferencia de los romanos usaban un sistema posicional, similar al nuestro actual, con los dígitos del 0 al 9 . Los números, llamados tsu o hêng , cambiaban de orientación según la posición: | = | tenía 121, - || - ◦ era 1210. Los tsu eran verticales, los hêng horizontales, los números arriba del cinco tenían un palo colocado perpendicularmente a los demás. El sistema se utilizaba con varillas de cálculo , que los chinos maniobraban a velocidades tales que asombraron a los primeros misioneros nestorianos .

Sin embargo, no había un signo único para definir los cuatro entre los romanos, mientras que para los chinos era ||||. Los romanos usaban una notación de resta: expresaban el cuatro con una V precedida de una I. La V indicaba el número cinco, el símbolo I delante indicaba que debía restarse (cinco menos uno = cuatro). Había un motivo antropomórfico al asignar un símbolo particular a cinco (la mano tiene cinco dedos), pero también había una motivación que involucraba al cerebro humano . Los psicólogos han demostrado que nuestros cerebros tienen dificultades para distinguir más de cinco símbolos similares cercanos: intente saber si es más grande ||||||||| o ||||||||||; más simple si se escriben como IX y X.

El sistema adoptado en Europa es el sistema de numeración decimal , también llamado numeración arábiga. De hecho, viene de la India , y lo más probable es que venga de los números cursivos egipcios , los números coptos . El dígito 1 es muy similar al símbolo romano, el 2 y el 3 son variaciones del mismo símbolo que te permiten escribir números sin levantar el bolígrafo y así permitir una escritura rápida, pero conservando la idea de una doble o triple línea horizontal . Con el símbolo 4 se pierde la correspondencia.