Logicismo

«Hoy parece ganar cada vez más adeptos la opinión de que la aritmética es una lógica más amplia y que la justificación más rigurosa de las leyes aritméticas remite a leyes puramente lógicas y sólo a ellas. Yo también soy de esta opinión y en ella baso la petición de incluir la notación aritmética en esa lógica”.

( Gottlob Frege, Función y concepto )

El logicismo es el intento de reducir las matemáticas a los conceptos y reglas de la lógica . Según las posiciones logicistas, para el desarrollo de la aritmética (y en consecuencia de las propias matemáticas) no serían necesarios otros conceptos que los de la lógica, ya que las matemáticas son básicamente una aplicación específica de las leyes universales de la lógica. Todo concepto, teorema y ley de las matemáticas puede, por lo tanto, deducirse y probarse a partir de los axiomas fundamentales de la lógica.

Este pensamiento ya se encuentra en Gottfried Leibniz [1] quien buscaba una charactera universalis , una ciencia universal, de la cual todas las demás ciencias pudieran deducirse como instancias específicas. El logicismo se asocia comúnmente principalmente con Gottlob Frege , Bertrand Russell y Alfred North Whitehead .

Contexto histórico

A principios del siglo XX , muchos lógicos y matemáticos se interesaron en dar un nuevo fundamento a las disciplinas matemáticas. Aparte de Frege, Richard Dedekind y Giuseppe Peano también querían traer de vuelta los conceptos fundamentales de las matemáticas, especialmente el concepto de número natural , a definiciones formales en términos estrictamente lógicos. Muchos matemáticos famosos, como Karl Weierstrass , Richard Kronecker y Hermann von Helmholtz , habían hablado sobre el concepto de número a fines del siglo XIX , a menudo en un sentido más filosófico o incluso psicológico , tratando de traer el concepto de número de vuelta a conceptos de otros campos, como el tiempo o el espacio, o buscando su origen en el proceso de enumeración. Los dos grandes campos son el del Psicologismo y el del Formalismo . El primero intenta reducir las leyes de las matemáticas y la lógica a procesos mentales, tratando de definir el concepto de número en función de cómo surge naturalmente en el pensamiento. El segundo postula axiomas que definen los elementos básicos de un sistema y de ellos deducen teoremas según las leyes de la lógica, pero obteniendo un sistema " nominalista ", cuya aplicación a las ciencias puede ser cuestionada. El logicismo, que sostiene que las matemáticas no tienen un dominio propio, sino que se ocupa puramente de relaciones de ideas y que estas relaciones son analíticas, cae en esta segunda categoría.

El intento de Frege

En la formulación del lógico y matemático Gottlob Frege , el programa logicista tenía dos objetivos:

Frege tuvo cierto éxito en el desarrollo de un lenguaje simbólico capaz de formalizar el razonamiento: este lenguaje "ideográfico", que se basó en las primeras aproximaciones a la formalización realizadas por George Boole y utilizó herramientas conceptuales similares a las de la teoría intuitiva de la Los conjuntos de Georg Cantor fueron exhibidos por Frege en su libro Ideografía .

En la teoría semántica de Frege, los predicados denotan conceptos: funciones unarias particulares (cuyo rango contiene solo valores de verdad). Para todos los predicados (o propiedades) se cumple el siguiente axioma de comprensión.

Axioma de entendimiento : asignación necesaria a un concepto de una respectiva "extensión": el conjunto de objetos a los que el concepto es verdaderamente atribuible; y que es el conjunto vacío, {∅}, si el concepto es contradictorio (por ejemplo: 'ser diferente de uno mismo').
Posteriormente, Frege define el concepto de equinumerosidad [2] 'que tiene el mismo número de objetos': dos conjuntos son equinumerables si están conectados por una correspondencia uno a uno (cada elemento del primero corresponde a uno y solo un elemento del segundo; y viceversa). En este punto, Frege define "número de un conjunto dado" como el conjunto de todos los conjuntos iguales al dado [3] .

El axioma de asignar una extensión a un concepto equivale a garantizar la existencia de los objetos que caen bajo él, por tanto existe al menos una entidad matemática, cero, como conjunto de todos los conjuntos equinumerarios al conjunto vacío que es la extensión de cualquier concepto contradictorio. Esto también demuestra la infinidad de los números naturales: dado que el cero es un objeto lógico, puede ser considerado como un elemento, pero entonces el número uno también existe como el conjunto de todos los conjuntos equinumerables al 'cero' conjunto de todos los conjuntos iguales al conjunto vacío, que era la extensión de un concepto contradictorio dado. Y si hay cero y uno, entonces hay al menos dos objetos lógicos que proceden como arriba. Y si hay cero, uno y dos, entonces hay al menos tres objetos lógicos; y así avanzamos hasta el infinito. Frege cree haber alcanzado así los objetivos de garantizar la existencia de infinitas entidades matemáticas definidas únicamente por ingredientes lógicos, con las que es posible, por tanto, proceder a la demostración de verdades aritméticas.

Pero, ¿es legítimo situar el paso de un concepto a su extensión como un axioma necesario? Y del hecho de que la extensión de un concepto coincida con la de otro concepto, ¿puede concluirse que todo objeto que cae bajo el primer concepto también cae bajo el segundo? Pues bien: el 16 de junio de 1902, mientras escribía el segundo volumen de los Principios de la aritmética , el libro en el que procedió a la reducción real a la lógica de los conceptos básicos de la propia aritmética, Frege recibió una carta en la que Bertrand Russell , uno de los pocos que se interesó por el programa del oscuro pensador alemán de principios del siglo XX, le comunicó una antinomia fundamental que frustró toda su obra, demostrando la contradicción del axioma del entendimiento en el que se basaba Frege. La antinomia ahora se conoce como la paradoja de Russell .
Frege, sin embargo, publicó el segundo volumen de los Principios de la aritmética en 1903 , reportando la antinomia de Russell como una adición, expuesta de esta manera:

“Poco puede resultar más desagradable para un escritor científico que el hecho de que, después de completar una obra, uno de los cimientos de su construcción se tambalea. Fui puesto en esta situación por una carta del Sr. Bertrand Russell, cuando la impresión de este volumen estaba por terminar. [...] ¡Pero vayamos al grano! El Sr. Russell ha descubierto una contradicción que expondré ahora. Nadie querrá afirmar, de la clase de los hombres, que es un hombre. Tenemos aquí una clase que no se pertenece a sí misma. En efecto, digo que algo pertenece a una clase si ese algo cae bajo un concepto, cuya extensión es precisamente la clase misma. Arreglemos ahora el concepto: ¡clase que no se pertenece a sí misma! La extensión de este concepto, suponiendo que podamos hablar de él, es, como hemos dicho, la clase de clases que no se pertenecen a sí mismas. Queremos llamarla brevemente clase K. ¡Preguntémonos ahora si esta clase K se pertenece a sí misma! Supongamos primero que se pertenece a sí mismo. Si algo pertenece a una clase, cae bajo el concepto cuya extensión es la clase en consideración, en consecuencia, si nuestra clase se pertenece a sí misma, entonces es una clase que no se pertenece a sí misma. Nuestra primera suposición conduce, por tanto, a una contradicción. Supongamos, en segundo lugar, que nuestra clase K no se pertenece a sí misma: en este caso cae bajo el concepto del cual ella misma representa la extensión, por lo tanto se pertenece a sí misma: ¡aquí nuevamente tenemos una contradicción!

Los esfuerzos posteriores de Frege para resolver la paradoja fueron insatisfactorios, pero Frege continuó ocupándose de la lógica y la filosofía de las matemáticas hasta dos años antes de su muerte .[4] La consecuencia de la paradoja de Russell es que la teoría de conjuntos desarrollada por Georg Cantor y utilizada por Frege puede demostrarse internamente contradictorio definiendo un conjunto muy particular: el conjunto que contiene todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elementos ( "El conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como miembros" ). La definición de este conjunto lleva a la paradoja de que este conjunto contiene y no se contiene a sí mismo, demostrando que la definición de conjunto de Frege no podría utilizarse como un fundamento seguro para la definición del concepto de número y, por lo tanto, de las matemáticas.

El intento de Russell

En continuidad con el Logicismo de Frege, Russell se habría aventurado junto a su colega Alfred North Whitehead en un intento de superar su propia antinomia, dando nacimiento a los tres voluminosos volúmenes de los Principia Mathematica , publicados entre 1910 y 1913 . Este trabajo representó el intento más grandioso de realizar el sueño fregeano de un fundamento lógico de las matemáticas; de hecho, el espíritu russelliano resultó aún más radical que el de su predecesor en la medida en que llegó a involucrar la geometría , previamente excluida por Frege.

Profundizando en la antinomia que descubrió, Russell llega al problema de la existencia de entidades matemáticas. ¿Cuál es el significado de la expresión "hay un número (un conjunto, etc.) que tiene cierta propiedad"? La pregunta plantea un contraste entre una concepción descriptiva (para la cual el ente matemático existe independientemente de los métodos para identificarlo) y una concepción constitutiva (para la cual el ente matemático es el resultado de actos o procesos de actividad racional) de las matemáticas.

Pues bien, Poincaré llama "impredicativas" a las definiciones que se refieren a la totalidad a la que pertenece el ente a definir; y "predicativo" las definiciones que no se refieren a él. El proceso definitorio de las definiciones impredicativas (que identifica una entidad refiriéndose a la totalidad a la que pertenece la entidad) es un problema en una concepción constitutiva, refiriéndose a algo aún no construido.

Para evitar definiciones impredicativas (y falacias de autorreferencia relacionadas), Russell elabora una teoría de tipos : jerarquías de niveles de entidades lógicas, organizadas desde la más simple a la más compleja, definidas por referencia a entidades ya dadas. (Nivel 0: los elementos. Nivel 1: los conjuntos de elementos. Nivel 2: los conjuntos de conjuntos de elementos. Y así sucesivamente).
En esta teoría se aplica el principio del círculo vicioso: ninguna totalidad puede contener elementos definidos en términos de sí misma. El problema del sistema lógico que Russell es su debilidad: sin definiciones impredecibles, la matemática construible sobre tal base lógica es limitada; y requiere axiomas que son ajenos tanto al espíritu de partida predicativista como al logicista. Un ejemplo es el axioma del infinito (hay un tipo al que pertenecen infinitos individuos distintos), sin el cual existirían n individuos que permitirían construir los números cardinales del 0 al n, pero n + 1 sería una clase nula, por lo tanto, n + 1 y todos los números naturales subsiguientes serían todos idénticos (es decir, 0), lo que sería una catástrofe aritmética.

La reducción logicista de la teoría de los tipos fue, pues, realizada por Russell a costa de cierto forzamiento, que en los años siguientes provocó el progresivo desmantelamiento del sistema erigido en los Principia . Se revelaron los puntos débiles del arreglo russelliano:

Así, Russell no logra encontrar un compromiso entre el ideal predicativista de Poincaré (vinculado a la concepción constitutiva de las matemáticas) y el ideal logicista de Frege (vinculado a la concepción descriptiva de las matemáticas).

El fracaso del proyecto logicista

A pesar de los esfuerzos de Frank Plumpton Ramsey , el programa logicista se secó y fue suplantado por otros enfoques del problema de los fundamentos de las matemáticas, como el Formalismo de Hilbert o el Intuicionismo de Poincaré y Brouwer . El neologicismo , propuesto entre otros por Crispin Wright , intenta revivir el programa logicista .

El logicismo comenzó a ser superado cuando los intuicionistas comenzaron a argumentar la imposibilidad de fundamentar las matemáticas en la lógica: según ellos, el intento de reducir las matemáticas a la lógica fracasa porque la lógica por sí sola no es suficiente. El logicismo también utiliza conceptos de la teoría de conjuntos, que es ontológicamente más rica que la mera lógica. Sin embargo, no existe una necesidad a priori que garantice la existencia de los diversos niveles de conjuntos y conjuntos de conjuntos presupuestados por Cantor, Frege y Russell.

Después de 1930 , el punto de vista formalista declinó, tanto debido al descubrimiento de los teoremas de incompletitud de Kurt Gödel como al surgimiento de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, que reemplazó a la teoría de tipos de Russell como la teoría fundamental más prometedora para las matemáticas. [5] De acuerdo con los teoremas de incompletud de Gödel, cualquier sistema suficientemente complejo para fundamentar la aritmética es ipso facto o incompleto o inconsistente, y además no es capaz de probar su propia validez.

Notas

  1. ^ Logicismo , en Enciclopedia de Matemáticas , Instituto de la Enciclopedia Italiana, 2013.
  2. ^ Hay muchas redundancias léxicas que indican este concepto: igualmente numerosas; equipotencia; equivalencia; etc ...
  3. ^ Para ser exactos, Frege define el número como una " clase de clases"; sin embargo, postula que la clase se identifica por una totalidad de objetos. Y hoy decimos juntos una colección de elementos que pueden identificarse por la totalidad de los elementos mismos, y pueden considerarse en sí mismos como un elemento (en el conjunto de conjuntos, los conjuntos son de hecho elementos). Todos los conjuntos son clases, pero no todas las clases son conjuntos. Por ejemplo, la clase de estrellas visibles en el cielo no es un conjunto, en el que hay elementos que se suman y restan en el curso de un proceso de enumeración.
  4. ^ https://plato.stanford.edu/entries/frege
  5. ^ https://plato.stanford.edu/entries/logicism/#NeoFre

Bibliografía

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