Jorge Cantor

"Nadie podrá echarnos del Paraíso que Cantor creó para nosotros".

( David Hilbert [1] )

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ( San Petersburgo , 3 de marzo de 1845 - Halle , 6 de enero de 1918 ) fue un matemático alemán , padre de la teoría de conjuntos . Cantor amplió la teoría de conjuntos para incluir los conceptos de números transfinitos , números cardinales y ordinales .

Biografía

Cantor nació en San Petersburgo, hijo de Georg Woldemar Cantor, un corredor de bolsa danés , y Marie Anna Böhm, una violinista católica nacida en Rusia y de ascendencia austriaca. En 1856 , debido a las condiciones de salud de su padre, la familia se mudó a Alemania , en particular a Berlín , y Georg continuó su educación en escuelas alemanas, primero en Darmstadt, luego en Suiza en el Instituto Federal de Tecnología en Zúrich , logrando finalmente su doctorado. de la Universidad de Berlín en 1867 con una tesis sobre teoría de números : De aequationibus secundi gradus indeterminatis . Georg siempre añoró su patria, declarándose más ruso que alemán.

Cantor reconoció que los conjuntos infinitos pueden tener distinta cardinalidad , separó los conjuntos en contables y más que contables y probó que el conjunto de todos los números racionales es contable mientras que el conjunto de todos los números reales es más que contable, demostrando en esto que hay al menos menos dos órdenes de infinito. También inventó el símbolo que se usa hoy en día para indicar los números reales. El método que usó para realizar sus pruebas se conoce como el método diagonal de Cantor . Más tarde, trató en vano de probar la hipótesis del continuo . Cantor formuló un principio muy importante para la definición de los números reales, llamado principio de localización , que también es fundamental para poder operar sobre el mencionado campo numérico.

Durante la segunda mitad de su vida sufrió episodios de depresión , que afectaron gravemente su capacidad matemática y lo obligaron a repetidas hospitalizaciones. Intensificó entonces la lectura de textos literarios y religiosos , en los que desarrolló su concepto de infinidad absoluta que identificaba con Dios . El escribio:

«El infinito actual se da en tres contextos: primero cuando se realiza en la forma más completa, en una esencia mística completamente independiente, en Dios , al que llamo el Infinito Absoluto o, simplemente, el Absoluto; en segundo lugar, cuando se realiza en el mundo creado contingente; en tercer lugar, cuando la mente lo capta en abstracto como una cantidad, un número o una especie de orden matemático”.

Empobrecido durante la Primera Guerra Mundial , murió en 1918 en Halle , donde fue hospitalizado en un hospital psiquiátrico . Sus teorías no encontraron inmediatamente la aprobación de sus colegas: el matemático Leopold Kronecker , en particular, juzgó sus descubrimientos como "sin sentido". [2]

El cráter Cantor en la Luna lleva su nombre .

Teoría de conjuntos

Cantor dio origen a la teoría de conjuntos ( 1874-1884 ). [3] Fue el primero en comprender que los conjuntos infinitos pueden tener diferentes magnitudes: primero demostró que dado cualquier conjunto , existe el conjunto de todos los subconjuntos posibles de , llamado conjunto potencia de . Luego demostró que el conjunto potencia de un conjunto infinito tiene una magnitud mayor que la magnitud de sí mismo (este hecho ahora se conoce como el teorema de Cantor ). Así existe una jerarquía infinita de cantidades de conjuntos infinitos, de donde surgen los números cardinales y ordinales transfinitos , y su aritmética peculiar. Para denotar los números cardinales usó la letra del alfabeto hebreo aleph con un número natural como índice ( Alef cero); para los ordinales usó la letra del alfabeto griego omega .

La innovadora teoría cantoriana, contrastada en vida de su creador, ha sido completamente aceptada por los matemáticos modernos, quienes han reconocido en la teoría de los conjuntos transfinitos un cambio de paradigma de primera magnitud.

Es decir, no sólo por tanto Cantor -en contra de la tradición aristotélica, según la cual el infinito se definía sólo como potencial- concibió el infinito real como una entidad medible digna de valor científico, sino que mostró y demostró a través de lo que hoy se llama el método de diagonalización , que hay diferentes tipos de infinito. El conjunto de los números reales, por ejemplo, tiene una magnitud (una cardinalidad) mayor que el conjunto de los números naturales, mientras que el conjunto de los números pares tiene la misma "magnitud" que los números naturales, es decir (contra intuitivamente) una parte es igual al entero porque es posible encontrar una correspondencia uno a uno (una biyección) entre los dos conjuntos. Hoy en día, la mayoría de los matemáticos aceptan los números transfinitos.

Filosofía y Religión

En la obra Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts , se cita y examina cuidadosamente un número impresionante de fuentes filosóficas y teológicas: Agustín , Aristóteles , Bolzano , Kant , Leibniz , Platón , Spinoza , Tomás de Aquino . Además, entre los “escolásticos”, Franzelin , Pesch , Suárez , Tongiorgi ; entre los filósofos, Albrecht von Haller , Bayle , Berkeley , Boecio , Fichte , Gerdil , Giordano Bruno , Hamilton, Hegel , Maignan , Nicola da Cusa , Orígenes , Pitágoras , Schelling , Sesto Empirico , Thomasius ; entre los científicos más antiguos: Cavalieri , Euclid , Galileo , Guldino , Lagrange , Newton , Torricelli .

Lector de Agostino y Spinoza, siempre se declaró religioso a la manera de Spinoza, con una fuerte simpatía por el catolicismo materno. Tuvo importantes intercambios de correspondencia con Weierstrass, con el filósofo K. Lasswitz y con el teólogo jesuita cardenal GB Franzelin, en parte publicado por él mismo (en la revista filosófica fichtiana: Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik , 1887-1888) y se quejaba de la desconfianza que la noción de "transfinito" suscita en los círculos eclesiásticos (cf. Thuiller, 1977).

El mapa cantoriano del infinito se basa en la oposición indeterminado/determinado y, sólo secundariamente, en el finito/infinito. Entonces distinguimos: a) el infinito absolutamente indeterminado o inconsistente (el infinito "malo", por ejemplo: "El conjunto de todo lo que es pensable", ver arriba, IV); b) las multiplicidades determinadas y "finitas"; c) el iterado "finito", potencial infinito, impropio, pero no "malo" (contra Hegel), muy importante en el análisis matemático; d) las multiplicidades "infinitas bien determinadas", como los transfinitos; y finalmente e) Dios, absolutamente infinito.

Obras de Cantor

Notas

  1. ^

    " Aus dem paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können "

    ( David Hlbert, Über das Unendliche. Mathematische Annalen , 1926, p. 170 )
  2. ^ Dauben, Joseph W. (1979). Georg Cantor: sus matemáticas y filosofía del infinito .
  3. ^ Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1874.

Bibliografía

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