Teoría axiomática de conjuntos

La teoría de conjuntos axiomática es una versión de la teoría de conjuntos que define conjuntos sobre la base de algunos axiomas, de tal manera que se evitan las paradojas derivadas de formular una teoría de conjuntos ingenua .

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas desarrollada principalmente por el matemático alemán Georg Cantor a finales del siglo XIX . Inicialmente controvertida, la teoría de conjuntos ha llegado a desempeñar el papel de teoría fundamental en las matemáticas modernas, en el sentido de una teoría invocada para justificar las suposiciones hechas sobre la existencia de objetos matemáticos (como números o funciones) y sus propiedades.

Las formulaciones formales de la teoría de conjuntos también jugaron un papel fundamental en la especificación de un ideal de rigor matemático en las demostraciones. Si bien los conceptos básicos de la teoría de conjuntos se utilizan en todas partes en las matemáticas, la teoría en sí es seguida como un tema especializado por un pequeño número de matemáticos y lógicos . También hay que recordar que hay matemáticos que utilizan y promueven diferentes enfoques de los fundamentos de las matemáticas.

Los conceptos básicos de la teoría de conjuntos son "juntos" y "pertenecer". Se piensa en un conjunto como una colección de objetos, llamados elementos ( o miembros ) del conjunto. En matemáticas, los elementos de un conjunto son cualquier objeto matemático y, en particular, pueden ser conjuntos. Por tanto hablamos del conjunto N de los números naturales {0, 1, 2, 3, 4, ...}, del conjunto de los números reales , y del conjunto de funciones que asocian números naturales a números naturales; pero también, por ejemplo, del conjunto {0, 2, N } que tiene como elementos los números 0 y 2 y el conjunto N.

Inicialmente, se desarrolló lo que ahora se llama teoría de conjuntos "ingenua" o "intuitiva" (ver teoría de conjuntos ingenua ). Se descubrió que dejar la posibilidad de realizar cualquier operación en los platós generaba paradojas (como la paradoja de Russell ). Para abordar estos problemas, la teoría de conjuntos tuvo que ser reconstruida, esta vez con un enfoque axiomático . Un ejemplo de teoría axiomática de conjuntos es la teoría de Zermelo-Fraenkel .

Los orígenes de la teoría de conjuntos rigurosa

La idea importante de Cantor, que hizo de la teoría de conjuntos un nuevo campo de estudio, fue afirmar que dos conjuntos A y B tienen el mismo número de elementos si existe una manera de emparejar exhaustivamente los elementos de A con los elementos de B. _ Por lo tanto, el conjunto N de números naturales tiene la misma cardinalidad que el conjunto Q de números racionales (ambos se llaman contables ) , incluso si N es un subconjunto propio de Q. En cambio, el conjunto R de los números reales no tiene la misma cardinalidad que N o Q , sino mayor (se le llama incontable ). Cantor proporcionó dos demostraciones del incontable de R. La segunda de ellas, que explota lo que se conoce como construcción diagonal , ha tenido una enorme influencia e innumerables aplicaciones en matemáticas y lógica.

Cantor fue más allá y construyó una jerarquía infinita de conjuntos infinitos, los números ordinales y cardinales . Este proceso fue controvertido en su día y contó con la oposición del finitista Leopold Kronecker , pero hoy en día no existe un desacuerdo significativo entre los matemáticos en cuanto a la corrección de las ideas de Cantor.

Cantor desarrolló la teoría de conjuntos todavía en términos "ingenuos", en el sentido de que no tenía en mente una axiomatización precisa . En retrospectiva, podemos decir que Cantor utilizó implícitamente el axioma de extensionalidad , el axioma de infinito y el axioma de comprensión . Sin embargo, esto último conduce directamente a la paradoja de Russell , a través de la construcción del conjunto S  : = { A  : A no está en A } de conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. (Si S se pertenece a sí mismo, entonces no se pertenece a sí mismo, lo que lleva a una contradicción , por lo que S no puede pertenecerse a sí mismo. Pero entonces S debería pertenecerse a sí mismo, lo que lleva a un absurdo). lógica o comprensión ilimitada, y la segunda opción se consideró mucho más razonable. (Aunque el intuicionismo tiene un seguimiento notable, la paradoja sigue siendo válida también en la lógica intuicionista . No hay paradoja en la lógica brasileña , pero esto era completamente desconocido en ese momento).

Para evitar esta paradoja y paradojas similares, Ernst Zermelo hizo uso de un sistema de axiomas para la teoría de conjuntos en 1908 . Incluyó en este sistema el muy controvertido axioma de elección que necesitaba para probar el teorema del buen orden (o teorema de Zermelo). Este sistema fue posteriormente refinado por Adolf Fraenkel y Thoralf Skolem , lo que condujo a los axiomas que ahora se utilizan.

Axiomas de la teoría de conjuntos

Los axiomas de la teoría de conjuntos más estudiados y utilizados en la actualidad, aunque colocados en su forma final por Skolem, constituyen la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF). En realidad, esta expresión generalmente excluye el axioma de elección, que fue mucho más controvertido en el pasado que ahora. Cuando se incluye este axioma, el sistema resultante se denomina ZFC ( Zermelo-Fraenkel-Choice ).

Una característica importante de ZFC es que todos los objetos que trata son conjuntos. En particular, cada elemento de un conjunto es en sí mismo un conjunto. Otros objetos matemáticos familiares, como los números, deben definirse más adelante en términos de conjuntos.

Los diez axiomas de ZFC se enumeran aquí (estrictamente hablando, los axiomas de ZFC son solo cadenas de símbolos lógicos. El axioma de reemplazo es en realidad un esquema de axiomas, uno para cada proposición). Cada axioma tiene más información en su artículo.

  1. Axioma de extensionalidad : dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos.
  2. Axioma del conjunto vacío : Existe un conjunto sin elementos. Usaremos {} para indicar esto.
  3. Axioma del par : si x , y son conjuntos, entonces también lo es { x , y }, es decir, un conjunto que contiene x e y como elementos únicos.
  4. Axioma de unión : Cada conjunto tiene una unión . Es decir, para todo conjunto x existe un conjunto y cuyos elementos son exactamente los elementos de los elementos de x .
  5. Axioma de infinito : Existe un conjunto x tal que {} está en x y siempre que y está en x , también lo está la unión y U { y }.
  6. Axioma de especificación (o separación) : dado cualquier conjunto y una proposición genérica P ( x ), existe un subconjunto del conjunto original que contiene exactamente los elementos x para los que se cumple P ( x ).
  7. Axioma de reemplazo : Dado cualquier conjunto y una aplicación genérica , definida formalmente como una proposición P ( x , y ) donde P ( x , y ) y P ( x , z ) implican y = z , existe un conjunto que contiene precisamente las imágenes de los elementos originales del conjunto.
  8. Axioma del conjunto potencia : Cada conjunto tiene un conjunto potencia . Es decir, para todo conjunto x existe un conjunto y , tal que los elementos de y son exactamente los subconjuntos de x .
  9. Axioma de regularidad (o axioma de solidez): Todo conjunto no vacío x contiene un cierto elemento y tal que x e y son conjuntos disjuntos .
  10. Axioma de elección (versión de Zermelo): dado un conjunto x de conjuntos no vacíos mutuamente disjuntos, existe un conjunto y (una elección de conjunto para x ) que contiene exactamente un elemento para cada conjunto contenido en x .

Los axiomas de elección y regularidad siguen siendo objeto de controversia entre una minoría de matemáticos. Otros sistemas axiomáticos para la teoría de conjuntos incluyen la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) , la teoría de conjuntos de Kripke-Platek (KP) y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley .

Independencia de ZFC

Muchas declaraciones importantes son independientes de ZFC, consulte la lista de declaraciones indecidibles en ZFC . La independencia generalmente se prueba forzando , es decir, mostrando que todo modelo contable transitivo de ZFC (más posiblemente los axiomas de los grandes cardinales) se puede extender para satisfacer el enunciado en cuestión, y (por medio de una expansión diferente) su negación. Ciertas declaraciones independientes de ZFC resultan válidas en modelos internos particulares , como en el caso del universo construible . Sin embargo, algunas afirmaciones verdaderas sobre conjuntos construibles no son consistentes con los axiomas de los grandes cardinales.

He aquí algunos enunciados cuya independencia es demostrable forzando:

Nota:

  1. La consistencia de V = L no se puede demostrar forzando, pero se puede demostrar a través de modelos internos: cada modelo se puede reducir a un modelo de ZFC + V = L.
  2. El principio del diamante implica la hipótesis del continuo y la negación de la hipótesis de Suslin.
  3. El axioma de Martin más la negación de la hipótesis del continuo implica la hipótesis de Suslin.
  4. El universo construible satisface la hipótesis del continuo generalizado, el principio del diamante, el axioma de Martin y la hipótesis de Kurepa.

Se puede utilizar una variante del método de forzamiento para probar la consistencia y la indemostrabilidad del axioma de elección , es decir, que el axioma de elección es independiente de ZF. La consistencia de la elección se puede verificar de una manera (relativamente) fácil probando que el modelo interno L satisface la elección (por lo tanto, cada modelo de ZF contiene un submodelo de ZFC y, por lo tanto, la consistencia de ZF, Con (ZF), implica Con (ZFC) ). Dado que la fuerza preserva la elección, no podemos producir directamente un modelo que contradiga la elección a partir de un modelo que la satisfaga. Sin embargo, podemos usar el forzado para crear un modelo que contenga un submodelo adecuado, es decir, uno que satisfaga ZF pero no C.

Forzar es quizás el método más práctico para probar los resultados de independencia, pero no es el único. En particular, el segundo teorema de incompletitud de Gödel , que establece que ningún sistema axiomático lo suficientemente complejo puede probar su consistencia, puede usarse para probar resultados de independencia. En este enfoque, se muestra que una afirmación particular en la teoría de conjuntos puede usarse para probar la existencia de un conjunto modelo de ZFC y así probar la consistencia de ZFC. Como sabemos que Con (ZFC) (la proposición que establece la consistencia de ZFC en el lenguaje de la teoría de conjuntos) es indemostrable en ZFC, ninguna afirmación que permita tal demostración puede probarse en ZFC. Por ejemplo, este método puede usarse para demostrar que la existencia de los grandes cardenales no es demostrable en ZFC.

La teoría de conjuntos (ZFC) como fundamento de las matemáticas

A partir de los axiomas iniciales de la teoría de conjuntos es posible construir todos los demás conceptos y objetos matemáticos: número , continuo , orden , relación , función , etc.

Por ejemplo, mientras los elementos de un conjunto no tienen un orden intrínseco, es posible construir modelos de listas ordenadas . El paso fundamental es la capacidad de modelar el par ordenado (a, b) que representa el emparejamiento de dos objetos en el orden dado . La propiedad que define un par ordenado es (a, b) = (c, d) si y solo si a = c y b = d. El enfoque básicamente es especificar los dos elementos e indicar cuál es el primero, utilizando la construcción:

Las listas ordenadas de mayor longitud se pueden construir inductivamente :

Otro ejemplo es una construcción mínima para números naturales, basada principalmente en el axioma del infinito, debida a von Neumann . Necesitamos producir una sucesión infinita de conjuntos, dotados de una relación de 'sucesor', como modelo de los axiomas de Peano . Este procedimiento proporciona una representación canónica para el número N, como una elección particular de un conjunto que contiene exactamente N elementos distintos.

Procedemos inductivamente:

en cada paso construimos un nuevo conjunto de N elementos como el conjunto de elementos (ya definidos) 0, 1, 2, ..., N - 1. Más formalmente, en cada paso el sucesor de N es N ∪ {N} . De esta forma se obtiene un modelo adecuado para todo el conjunto de los números naturales.

Dado que las relaciones , y en particular las funciones , se definen como conjuntos de pares ordenados, y existen construcciones progresivas de números enteros , racionales , reales y complejos a partir del conjunto de números naturales, podemos modelar esencialmente todas las estructuras familiares de las matemáticas. .

A menudo se argumenta que la teoría axiomática de conjuntos es una base adecuada para las matemáticas modernas, en el sentido de que, en principio, todas las pruebas pueden escribirse formalmente en términos de teoría de conjuntos. Sin embargo, generalmente no hay ninguna ventaja en hacer esto, ya que las diferencias en los resultados de la práctica habitual son mínimas. Un área donde puede aparecer una brecha entre la práctica y la formalización es la teoría de categorías , donde, por ejemplo, un concepto como 'la categoría de todas las categorías' requiere un tratamiento conjunto particularmente cuidadoso.

Buena perogrullada e hiperseries

En 1917, Dmitry Mirimanov (también escrito como Mirimanoff ) introdujo el concepto de solidez:

un conjunto, x0, está bien fundado si y sólo si no tiene infinitas sucesiones decrecientes de elementos :

En ZFC no hay infinitas secuencias ∈ decrecientes gracias al axioma de regularidad (para una demostración, consulte Axioma de regularidad ). De hecho, el axioma de regularidad a menudo se denomina axioma de solidez ya que se puede demostrar que en ZFC- (es decir, ZFC sin el axioma de regularidad) la buena solidez implica regularidad.

En las variantes de ZFC sin el axioma de regularidad , surge la posibilidad de conjuntos infundados . Al trabajar en tal estructura, un conjunto que no está necesariamente bien fundado se denomina hiperconjunto . Claramente, si A ∈ A , entonces A es un hiperconjunto mal fundado.

La teoría de hiperconjuntos se ha aplicado en informática ( álgebra de procesos y semántica final ), en lingüística ( teoría de situaciones ) y en filosofía (trabajos sobre la paradoja del mentiroso ).

Son bien conocidos tres axiomas distintos de anti-sustanciación:

  1. AFA ('Axioma de anti-sustanciación, Anti-Fundamento-Axioma ) - debido a M. Forti y F. Honsell ;
  2. FAFA ('AFA de Finsler', AFA de Finsler ) - debido a P. Finsler;
  3. SAFA ('Scott's AFA', Scott's AFA ) - debido a Dana Scott .

El primero de ellos, AFA, se basa en grafos accesibles y establece que dos hiperetas son iguales si y solo si pueden ser representados por el mismo grafo. En este contexto, se puede demostrar que el llamado átomo de Quine , definido formalmente por Q = {Q}, existe y es único.

Cabe destacar que la teoría de hiperconjuntos es más una extensión de la teoría de conjuntos clásica que un sustituto: los conjuntos bien fundados en un dominio de hiperconjuntos se ajustan a la teoría de conjuntos clásica.

Objeciones a la teoría de conjuntos

Algunos matemáticos destacados como Henri Poincaré y Leopold Kronecker han planteado objeciones al uso de la teoría de conjuntos como base para las matemáticas, alegando que es solo un juego con elementos de fantasía. En particular, se cree que Henri Poincaré dijo: "la teoría de conjuntos es una enfermedad de la que las matemáticas se recuperarán algún día" (esta cita es parte del folclore matemático , se desconoce su fuente original); Errett Bishop rechazó la teoría de conjuntos como las matemáticas de Dios y argumentó que deberíamos dejársela a Dios.

La objeción más frecuente a la teoría de conjuntos es la visión constructivista en la que las matemáticas están vagamente conectadas con la computación; en este caso se argumenta que la teoría ingenua de conjuntos se formalizó agregando elementos no computables.

La teoría topoi ha sido propuesta como una alternativa a la tradicional teoría axiomática de conjuntos. La teoría Topoi incluye muchas alternativas a la teoría de conjuntos, como el constructivismo, la teoría de conjuntos difusos , la teoría de conjuntos finitos y la teoría de conjuntos computables .

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Enlaces externos

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