Axiomas de Peano

Los axiomas de Peano son un conjunto de axiomas ideados por el matemático Giuseppe Peano para definir axiomáticamente el conjunto de los números naturales . Una forma informal de describir los axiomas puede ser la siguiente:

Hay un número natural, 0
Todo numero natural tiene un numero natural sucesor
Diferentes números tienen diferentes sucesores.
0 no es sucesor de ningún número natural
Cada subconjunto de números naturales que contiene cero y el sucesor de cada uno de sus elementos coincide con todo el conjunto de números naturales (axioma de inducción)

Tomamos 0 o 1 dependiendo del modelo de los números naturales deseados. Además de estos axiomas, Peano también implica los axiomas lógicos que le permiten operar con lógica simbólica .

Significado matemático de los axiomas

En términos más precisos, podemos decir que la estructura dada por la tríada compuesta por el conjunto de los números naturales , el cero y la función "sucesora" puede caracterizarse hasta isomorfismos (más adelante se aclarará en qué sentido) por los siguientes axiomas de Peano : $({\ mathbb N}, 0, S)$ $\ matematicas norte$ $S:\mathbb{N}\a\mathbb{N}$

(P1) Hay un número

0 \ en {\ mathbb N}

(P2) Hay una función (llamada "sucesora")

S:\mathbb{N}\a\mathbb{N}

(P3) implica

x \ neq y

S (x) \ neq S (y)

(P4) para cada

S (x) \ neq 0

x \ en {\ mathbb N}

(P5) si es un subconjunto de tal que:

tu

\ matematicas norte

$0 \ en U$
$x \ en U$ implica $S (x) \ en U$

asi que

U = \matemáticas {N}

Analicemos la función de cada axioma:

(P1) nos dice que el conjunto no está vacío especificando un elemento ( ); $\ matematicas norte$ ${\ estilo de visualización 0}$
(P2) establece la existencia de una función (la función sucesora ) de la cual el conjunto es un dominio . $S.$ $\ matematicas norte$
(P3) dice que es una función inyectiva ; esto nos permite excluir modelos en los que partiendo y avanzando repetidamente de un elemento al sucesor podemos volver a un elemento ya visitado y quedarnos confinados en un ciclo; $S.$ ${\ estilo de visualización 0}$
(P4) dice que no está en la imagen de , esto nos permite excluir modelos en los que al iterar la función sucesora podemos hacer un bucle que vuelve al punto de partida; este axioma con el anterior excluye cualquier modelo con un número finito de elementos. ${\ estilo de visualización 0}$ $S.$
(P5), el último axioma de Peano, también se conoce como Principio de Inducción y es una herramienta muy utilizada en las demostraciones . El conjunto de los números naturales es el conjunto más pequeño que contiene lo y que contiene el sucesor de cada uno de sus elementos (es decir, es cerrado con respecto a la función sucesora ). Este axioma nos permite excluir modelos en los que los elementos "intrusos" están presentes fuera de la secuencia infinita de los sucesores de cero. $\ matematicas norte$ ${\ estilo de visualización 0}$

Unicidad del modelo hasta isomorfismos

Cada axioma permite reducir progresivamente el rango de modelos posibles recortando gradualmente modelos que son estructuralmente diferentes del conjunto de números naturales (como el conjunto vacío o conjuntos con número finito de elementos o estructuras cíclicas). ¿Son suficientes los cinco axiomas para excluir todos los modelos "malos" y, por lo tanto, caracterizar de manera única la estructura de los números naturales o, quizás, son necesarios otros axiomas?

Llamamos al sistema de Peano cualquier triple que satisfaga los axiomas: $(X, x_ {0}, s)$

(P1)

x_0 \ en X

(P2)

x \ en X \ Rightarrow s (x) \ en X

(P3) implica

x \ neq y

s (x) \ neq s (y)

(P4) para cada

s (x) \ neq x_ {0}

x \ en x

(P5) si es un subconjunto de tal que:

tu

X

$x_ {0} \ en U$
$x \ en U$ implica $s (x) \ en U$

asi que

U = X

Por lo tanto, un sistema de Peano es un modelo válido de los axiomas de Peano. El modelo más natural para los axiomas es la estructura , sin embargo, este no es el único para verificar los axiomas. Se toma como ejemplo de un sistema Peano diferente al conjunto de números pares positivos , y . $({\ mathbb N}, 0, S)$ $({\ mathbb N}, 0, S)$ $X$ $\ {2,4,6, ... \}$ $x_ {0}: = 2$ $s (x): = x + 2$

Un isomorfismo entre dos sistemas de Peano y es una biyección tal que: $(A, a_ {0}, s)$ $(B, b_ {0}, t)$ $f: A \ a B$

envía cada uno de los dos "ceros" al otro, es decir $f (a_ {0}) = b_ {0}$
enviar elementos "siguientes" a elementos "siguientes", es decir . $f (s (a)) = t (f (a))$

Con estas definiciones es posible determinar que los axiomas son suficientes para dar una caracterización única, es decir, no existen modelos no isomorfos a la estructura de los números naturales. eso es lo que

Teorema de Categorización: Todos los sistemas de Peano son isomorfos al sistema . $({\ mathbb N}, 0, S)$

Demostración : se obtiene un isomorfismo entre cualquier sistema de Peano y el sistema considerando la biyección definida por: $(A, a_ {0}, s)$ $({\ mathbb N}, 0, S)$ $f: {\ mathbb N} \ a A$

{\ estilo de visualización {\ comenzar {alineado} 0 & \ mapas a a_ {0} \\ 1 & \ mapas a s (a_ {0}) \\ 2 & \ mapas a s (s (a_ {0})) \\\ vdots \\ n & \ mapsto s (s (... s (s (a_ {0})) ...)) \ end {alineado}}}

con composiciones de . $norte$ $s$ $\ cuadrado$

Independencia de los axiomas

Los axiomas de Peano son independientes , es decir, ninguno de ellos puede probarse a partir de los demás. Podemos convencernos fácilmente de esto buscando ternas para las cuales un axioma particular no se cumple, todos los demás se cumplen y no es isomorfo al conjunto de los números naturales: $(X, x_ {0}, S)$ $X$

Eliminando (P1), podemos tomar por el conjunto vacío ; si no hay elementos en el todo, los otros axiomas son trivialmente verdaderos. $X$
Eliminando (P2), tenemos un modelo donde y sigue siendo el mismo, pero está dado por los números menores que , y por lo tanto el rango de está dado por . Cabe señalar que en este caso se verifica (P5), porque no existe ningún subconjunto del cual contenga lo y que sea cerrado con respecto a . ${\ estilo de visualización 0}$ $S.$ $X = \ {0,1,2,3,4,5 \}$ $6$ $S.$ $X \ taza \ {6 \}$ $X$ ${\ estilo de visualización 0}$ $S.$
Eliminando (P3), un modelo es aquel que está compuesto por , y S es la función que asocia al máximo entre y . $X$ $\ {0,1 \}$ $norte$ $norte$ $1$
Al eliminar (P4), las clases restantes módulo n proporcionan un modelo con la función de sucesor dada por (mod ). $n \ mapas a n + 1$ $metro$
Eliminando (P5), podemos, por ejemplo, tomar los racionales positivos , manteniendo y dejando el habitual como función sucesora . ${\matemáticas Q}\!^{+}$ ${\ estilo de visualización 0}$ $n \ mapas a n + 1$

Papel en la lógica matemática

Los axiomas de Peano pertenecen a la lógica de los predicados de segundo orden ya que el quinto axioma (el principio de inducción) requiere el uso de cuantificadores sobre subconjuntos de números naturales.

La versión de los axiomas de Peano en lógica de primer orden se llama aritmética de Peano y juega un papel muy importante en la teoría de la computabilidad y la lógica matemática ya que satisface las condiciones de validez de los teoremas de incompletitud de Gödel .

Bibliografía

Giuseppe Peano , Arithmetices principia, nova methodo exposita , Turín, 1889.

Enlaces externos

( EN ) Axiomas de Peano , en Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.