Un cuadrado mágico es una disposición de números enteros en forma de tabla cuadrada en la que se cumplen dos condiciones: los valores son todos distintos entre sí y la suma de los números presentes en cada fila, en cada columna y en ambas diagonales, siempre da el mismo resultado; este número entero se llama la "constante mágica" del cuadrado (o "constante mágica" o "suma mágica"). En matemáticas , tal tabla se llama matriz cuadrada . De manera similar a lo que ocurre con este último, al número de filas (o columnas) se le llama "orden" del cuadrado mágico. Si multiplicas la constante mágica por el orden, obtienes la suma de todos los números enteros en el cuadrado.
Para llenar un cuadrado de orden, necesita números enteros distintos. Si estos últimos coinciden con los números enteros del 1 al , entonces el cuadrado se llama "perfecto" o "normal". En este tipo particular de cuadrados, la constante mágica, multiplicada por el número de filas (o columnas), debe dar la suma de los números enteros de 1 a . De ello se deduce que, en el caso de cuadrados mágicos perfectos, viene dada por la fórmula:
Los valores de forman una secuencia cuyos primeros 15 componentes son: 1, 5, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, 671, 870, 1105, 1379, 1695 (secuencia A006003 del On- Enciclopedia de líneas de secuencias enteras ).
Los cuadrados mágicos ya eran conocidos en China en los primeros siglos después de Cristo, y quizás incluso en el siglo IV aC El cuadrado de 3 × 3 se llamaba Lo Shu ; en el siglo X los chinos conocían cuadrados hasta el orden 10, así como cadenas de círculos y cubos mágicos no perfectos.
En el Occidente latino, los cuadrados mágicos aparecieron a más tardar en el siglo XIII. De ella se pueden encontrar vestigios en un manuscrito en castellano, hoy conservado en la biblioteca vaticana (cod. Reg. Lat. 1283a) atribuido a la iniciativa de Alfonso X de Castilla [1] . Ya en este texto los cuadrados están dedicados a los planetas [2] . Luego reaparecen en Florencia en el siglo XIV, en un manuscrito de Paolo dell'Abbaco , es decir, Paolo Dagomari, matemático, astrónomo y astrólogo, que entre otras cosas estuvo en estrecho contacto con Jacopo Alighieri , uno de los hijos de Dante Alighieri . En los folios 20 y 21 del manuscrito 2433, conservado en la Biblioteca Universitaria de Bolonia , hay en efecto un cuadrado mágico de 6x6 y uno de 9x9, atribuidos respectivamente al Sol ya la Luna. Los mismos cuadrados también aparecen en el manuscrito 167 de Plimpton (folio 69 anverso y reverso), una copia del Tratado de Abbacus del siglo XV conservada en la Biblioteca de la Universidad de Columbia en Nueva York [3] . Es interesante notar que Dagomari menciona los dos cuadrados como un apoyo útil para cualquier problema matemático y, de paso, para cálculos astrológicos no especificados. El mismo espíritu anima a Luca Pacioli , quien expresa un punto de vista muy similar en la presentación de los cuadrados mágicos que hace en su De Viribus Quantitatis [4] .
Obsérvese que la obra del comentarista y gramático bizantino Manuele Moscopulo (hacia 1265 - 1316 ), que escribió un tratado sobre los cuadrados mágicos a partir de textos del ámbito cultural islámico, no parece haber sido conocida en Europa hasta su descubrimiento en el National Biblioteca de París por el matemático Philippe de La Hire , quien lo publicó en 1705 [5] [6] .
Los cuadrados mágicos de orden 3 a 9, descritos como herramientas para atraer las influencias de los planetas con fines mágicos, se encuentran en numerosos manuscritos a partir del siglo XV. Entre los más conocidos, el Liber de Angelis , un texto de magia "angelical" que está contenido en un manuscrito ( Biblioteca de la Universidad de Cambridge , MS Dd.xi.45) ejecutado hacia 1440 [7] y que retoma, con algunas variaciones, el texto de De septem quadraturis planetarum seu square magic , un manual de magia a través de imágenes planetarias, contenido en el Codex 793 de la Jagellonian Library (Ms BJ 793) [8] . Los cuadrados de órdenes entre 3 y 9 debían ser las imágenes propias de los planetas —así como sus ángeles tutelares— y como tales dotados de particulares virtudes mágicas. Por lo tanto, podían usarse para construir talismanes: por ejemplo, sus grabados en placas de oro o plata se usaban como remedios, desde la peste hasta el mal de amores. Uno de los cuadrados mágicos más conocidos es sin duda el que aparece en el grabado de Albrecht Dürer titulado Melencolia I.
Con el advenimiento de la imprenta, los cuadrados mágicos y sus usos salieron del anonimato: el responsable fue Cornelio Agrippa ( 1486 - 1535 ), quien los describió con gran detalle en el libro II de su Filosofía Oculta , definiéndolos como "tablas sagradas de los planetas y dotados de grandes virtudes, ya que representan la razón divina, o forma de los números celestes”.
El siglo de la Ilustración relegó progresivamente a los cuadrados mágicos al papel de objetos matemáticos, y finalmente de curiosidad.
Bernard Frénicle de Bessy ( 1605 - 1665 ), matemático francés amigo de Descartes y Pierre de Fermat , en 1663 calculó el número de cuadrados mágicos perfectos de cuarto orden: 880, con suma constante 34, sobre filas, columnas y diagonales. Sólo gracias a la computadora fue posible extender el resultado, en 1973 , a órdenes superiores: los cuadrados mágicos de orden 5 son al menos 275.305.224 (límite inferior calculado por Richard Schroeppel) [9] . No se conoce el número exacto de cuadrados mágicos de orden 6, aunque muchos se dedican a su determinación. Según algunas encuestas, su número es del orden de 1,7754 × 10 19 . Sin embargo, el problema más general de encontrar la regla que permita determinar el número de cuadrados mágicos de orden n sigue sin resolverse .
Un pariente cercano del cuadrado es el cubo mágico , construido en Europa por primera vez en 1866 . El primer cubo perfecto, de orden 7 y que por tanto contiene los primeros 7 3 = 343 enteros positivos, lo obtuvo un misionero apasionado por las matemáticas . Posteriormente la búsqueda se amplió a hipercubos de tamaño m y orden n , cada uno formado por números enteros.
El tipo más común es el cuadrado mágico perfecto, es decir, el que utiliza los números del 1 al n 2 . Entre ellos, el más famoso es quizás el cuadrado de 3 × 3, cuya constante mágica es 15 :
La constante mágica de tal cuadrado se puede calcular con esta fórmula:
Se pueden construir cuadrados mágicos de tipo 1 a n 2 para todos los valores posibles de n excepto 2. No todos los cuadrados mágicos de tipo 1 a n 2 se construyen de la misma manera. Para ello, se dividen en tres clasificaciones diferentes:
El método para construir un cuadrado mágico de n impar es bastante simple y se explica a continuación. Comienza poniendo 1 en la columna del medio de la fila superior.
Llena la siguiente columna del número uno (derecha) y una fila arriba. Si ya está en la fila superior, complete una columna a la derecha en la fila inferior.
Si está en la columna de la derecha, complete el siguiente número en la columna de la izquierda, una fila hacia arriba.
Si el cuadrado ya está ocupado por un número menor, el siguiente número se coloca en el cuadrado inmediatamente debajo del último ingresado; se procede de esta manera hasta que se compone todo el cuadrado.
Finalmente, verifica que cada fila, columna y diagonal den el mismo número como suma algebraica, en este caso, 65 .
Por supuesto, los cuadrados mágicos se pueden construir utilizando un subconjunto de números del 1 al n 2 . Por ejemplo, un cuadrado mágico se puede construir usando solo números primos (en algunos casos puede ser necesario aceptar 1 como número primo para tener un cuadrado mágico). En este ejemplo, la constante mágica es 111:
En la Villa Albani de Roma hay un cuadrado mágico de orden 9 grabado en el mármol, sobre el cual se coloca la inscripción "QVADRATUS MAXIMVS" [10] . Debajo del cuadrado hay una descripción en latín, con el nombre del autor y el año de composición (1766). [11]
La "constante mágica", es decir, la suma de los números de todas las filas, columnas y diagonales mayores es 369.
15 | 58 | 29 | 34 | 63 | 49 | 74 | 41 | 6 |
7 | 27 | 31 | 81 | 23 | 76 | 80 | 18 | 26 |
38 | 8 | 30 | 71 | 47 | 20 | 21 | 78 | 56 |
73 | 19 | 25 | 42 | 10 | 33 | 50 | sesenta y cinco | 52 |
22 | 55 | 72 | 1 | 45 | 60 | 28 | dieciséis | 70 |
79 | 35 | 39 | 66 | 2 | 48 | 17 | 24 | 59 |
14 | 64 | 69 | 12 | 77 | 3 | 51 | 68 | 11 |
46 | 36 | 61 | 53 | 40 | 43 | 4 | 54 | 32 |
75 | 67 | 13 | 9 | 62 | 37 | 44 | 5 | 57 |