Ley de la gravitación universal

La ley de la gravitación universal es una ley física fundamental que establece que en el Universo dos cuerpos se atraen con una fuerza directamente proporcional ( G ) al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia (r):

Formulada por Isaac Newton en la obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica ("Principia") publicada el 5 de julio de 1687, forma parte de la mecánica clásica y es una ley física general derivada por inducción a partir de observaciones empíricas . [1]

Historia

El trabajo de Hooke

Una evaluación reciente (por Ofer Gal) de la historia temprana de la ley del cuadrado inverso señala que "hacia finales de la década de 1660", la hipótesis de una "proporcionalidad inversa entre la gravedad y el cuadrado de la distancia era bastante común y había sido propuesta por un número de personas por diferentes razones ". [2] El mismo autor acredita a Robert Hooke con una contribución significativa, incluso seminal, pero trata el reclamo de prioridad de Hooke sobre la pregunta del cuadrado inverso como poco interesante, ya que varias personas además de Newton y Hooke al menos mencionaron, y en cambio enfatizan, como la importante contribución de Hooke. contribuciones, la idea de la "composición de los movimientos celestes" y la conversión del pensamiento de Newton de ' fuerza centrífuga ' a ' fuerza centrípeta '.

En 1686, cuando se presentó el primer libro de Newton "Principia" a la Royal Society, Robert Hooke acusó a Newton de plagio , alegando que le había quitado la "noción" de "la regla de disminución de la gravedad, actuando recíprocamente como los cuadrados de la distancias del Centro”. Al mismo tiempo (según un relato de la época de Edmond Halley ), Hooke admitió que "la prueba de las curvas así generadas" era enteramente de Newton. [3]

Robert Hooke publicó sus ideas sobre el "Sistema del mundo" en la década de 1660, cuando leyó a la Royal Society el 21 de marzo de 1666 un artículo "Sobre la gravedad", "sobre la flexión de un movimiento directo en una curva por una acción inesperada de atracción ", y los volvió a publicar en una forma más desarrollada en 1674, como" Intento de demostrar el movimiento de la Tierra a partir de observaciones ". [4] Hooke anunció en 1674 que había planeado "explicar un sistema mundial diferente en varios aspectos de cualquier otro conocido hasta ahora", basado en tres "supuestos": que "todos los cuerpos celestes tienen indiscriminadamente una atracción o fuerza que gravita hacia su propios Centros” y que “atraen también a todos los demás Cuerpos Celestes que se encuentran dentro de la esfera de su influencia”; [5] que "todos los cuerpos de cualquier tipo que se pongan en movimiento directo y simple continuarán su movimiento rectilíneo y uniforme, hasta que sean desviados y doblados por alguna otra fuerza efectiva..." y que "estas fuerzas de atracción son todas las más poderosos en el trabajo, cuanto más cerca de sus Centros es el cuerpo sobre el que actúan ". Así, Hooke postuló claramente las atracciones mutuas entre el Sol y los planetas, de una forma que aumentaba con la proximidad atractiva al cuerpo, junto con un principio lineal de inercia.

Las declaraciones de Hooke hasta 1674 no mencionan, sin embargo, una ley del inverso del cuadrado que se aplique, o pueda aplicarse, a estas atracciones. Además, la gravitación de Hooke aún no era universal, aunque se acercaba más a la universalidad que las hipótesis anteriores. [6] Tampoco proporcionó más pruebas ni pruebas matemáticas. Sobre estos dos últimos aspectos, el propio Hooke declaraba en 1674: “Hasta ahora, cuáles son estos diferentes grados [de atracción], aún no los he verificado experimentalmente”, y a lo largo de su propuesta: “Por el momento esto es sólo una pista”, "Tengo muchas otras cosas entre manos que me gustaría completar primero y, por lo tanto, no puedo preocuparme demasiado" (es decir, "continuar con esta investigación"). [4] Fue más tarde, el 6 de enero de 1679, en un escrito a Newton, que Hooke comunicó su "hipótesis... de que la Atracción está siempre en una proporción duplicada a la Distancia desde el Centro Mutuo, y que en consecuencia la Velocidad será a su vez en doble proporción a Atracción y Consecuencia, como supone Kepler, Mutua a Distancia”. [7] (La deducción de velocidad fue incorrecta. [8] )

En la correspondencia con Newton de 1679-1680, Hooke citó no solo la suposición de la inversa del cuadrado para la disminución de la atracción al aumentar la distancia, sino también, en su carta a Newton del 24 de noviembre de 1679, sobre el movimiento celeste de los planetas. , una aproximación a la "composición de un movimiento dirigido hacia la tangente con un movimiento de atracción hacia el cuerpo central". [9]

El trabajo de Newton

En mayo de 1686 , Newton , ante la afirmación de Hooke sobre la ley del inverso del cuadrado, negó que se le acreditara como autor de la idea. Entre las razones dadas, Newton recordó que la idea había sido discutida con Sir Christopher Wren antes de la carta de Hooke de 1679. [10] Newton también enfatizó y reconoció la prioridad del trabajo de otros, [11] incluido Bullialdus , [12] ( quien sugirió, sin probarlo, que había una fuerza de atracción del Sol en proporción inversa al cuadrado de la distancia), y Borelli [13] (quien también sugirió, sin probarlo, que había una tendencia centrífuga para contrarrestar una atracción gravitacional hacia el Sol, de modo que los planetas se mueven a lo largo de elipses). Whiteside describió la contribución al pensamiento de Newton derivada del libro de Borelli, una copia del cual estaba en la biblioteca de Newton cuando falleció. [14]

Newton defendió aún más su trabajo argumentando que incluso si hubiera escuchado a Hooke hablar de la razón del cuadrado inverso, aún tendría derechos derivados de sus pruebas en cuanto a la precisión de la idea. Hooke, sin evidencia para la suposición, solo pudo suponer que la ley del inverso del cuadrado a grandes distancias del centro era aproximadamente válida. Según Newton, aunque los 'Principia' aún no se habían publicado, había a priori tantas razones para dudar de la exactitud de la ley (especialmente cerca de un cuerpo esférico) que "sin mis Demostraciones (de Newton), a las que el Sr. Hooke es un extraño, un filósofo juicioso no podía creer que fuera exacto en todas partes". [15]

Esta observación se refiere, entre otras cosas, al descubrimiento de Newton, respaldado por pruebas matemáticas, de que si la ley del inverso del cuadrado se aplica a las partículas pequeñas, entonces incluso una gran masa esférica simétrica atrae masas externas hacia su superficie, incluso durante mucho tiempo. toda su masa estaba concentrada en su centro. Así, Newton dio una justificación que de otro modo faltaría para aplicar la ley del inverso del cuadrado a grandes masas esféricas planetarias como si fueran partículas diminutas. [16] Además, Newton había elaborado en las proposiciones 43-45 del Libro 1, [17] y las tres secciones relacionadas del Libro 3, un examen complejo de la precisión de la ley del inverso del cuadrado, en el que demostró que solo cuando la fuerza es exactamente como la inversa del cuadrado de la distancia que las direcciones de orientación de las órbitas elípticas de los planetas se mantienen constantes, como se ha observado que lo hacen, salvo pequeños efectos atribuibles a perturbaciones interplanetarias.

Algunos manuscritos de Newton de la década de 1660 muestran que había llegado a probar que, en el caso del movimiento planetario circular, "el intento de retroceder" (más tarde llamado fuerza centrífuga) tenía una razón inversa del cuadrado a la distancia desde el centro. [18] Después de su correspondencia con Hooke en los años 1679-1680, Newton adoptó el lenguaje de la fuerza interna o fuerza centrípeta. Según el estudioso de Newton J Bruce Brackenridge, aunque se ha hecho mucho en el cambio de lenguaje y punto de vista, entre las fuerzas centrífugas y centrípetas, los cálculos y pruebas reales han permanecido iguales de cualquier manera. También involucraron la combinación de desplazamientos tangenciales y radiales, en los que Newton estaba trabajando en la década de 1660. La lección que Hooke ofreció aquí a Newton, aunque significativa, fue de perspectiva y no cambió el análisis. [19] Estos antecedentes demuestran que para Newton había razones válidas para negar la autoría de Hooke de la ley del inverso del cuadrado.

Agradecimientos de Newton

Por otro lado, Newton aceptó y reconoció, en todas las ediciones de los 'Principia', que Hooke (pero no solo él) había mostrado su propio aprecio por la ley del inverso del cuadrado en el sistema solar. En este sentido, Newton también tuvo reconocimiento para Wren y Halley en la Proposición 4 del Libro 1. [20] A Halley le dijo que su correspondencia con Hooke de 1679-80 había despertado en él un interés latente en el campo de la astronomía, pero que No quería decir que Hooke le hubiera dicho algo nuevo u original: "No le estoy agradecido por haberme ilustrado en este trabajo, sino solo por haberme desviado de mis otros estudios para reflexionar sobre estas cosas; es la arrogancia de sus escritos, como si hubiera descubierto el movimiento en la Elipse, lo que me impulsó a estudiarla…” [11]

Controversia moderna

Desde los días de Newton y Hooke, los académicos se han preguntado si la sugerencia de Hooke de 1679 de "composición de movimiento" proporcionó a Newton algo nuevo y válido, aunque, en ese momento, esto no era realmente una afirmación hecha por Hooke. Como se describió anteriormente, los manuscritos de Newton de la década de 1660 muestran que él combina efectivamente el movimiento tangencial con los efectos de la fuerza dirigida radialmente, por ejemplo, al derivar la relación inversa del cuadrado en el caso del movimiento circular. También muestran que Newton expresa claramente el concepto de inercia lineal por el que se vio obligado a un trabajo de Descartes publicado en 1644, como probablemente lo estuvo el propio Hooke. [21] Newton no parece haber aprendido estos argumentos de Hooke.

Sin embargo, algunos autores han tenido más que decir sobre lo que Newton había adquirido de Hooke, por lo que algunos aspectos siguen siendo controvertidos. [22] El hecho de que la mayoría de los escritos privados de Hooke hayan desaparecido no ayuda a establecer la verdad.

El papel de Newton en relación con la ley del inverso del cuadrado no fue como a veces se representa. No lo concibió como una mera idea. Lo que hizo Newton fue demostrar cómo la ley de la atracción del cuadrado inverso tenía varias e indispensables conexiones matemáticas con las características observables de los movimientos de los cuerpos del sistema solar, y que la correlación era tal que la evidencia observacional y las pruebas matemáticas tomadas como En conjunto, dieron razones para creer que la ley no sólo era aproximadamente verdadera, sino exactamente verdadera (con la precisión alcanzable en la época de Newton y durante los siguientes dos siglos, y con algunos puntos sin resolver que entonces ciertamente no podían tomarse en consideración). , cuyas implicaciones teóricas aún no habían sido adecuadamente identificadas o calculadas). [23] [24]

Unos treinta años después de la muerte de Newton en 1727, Alexis Clairaut, un eminente astrónomo matemático en el campo de los estudios gravitatorios, después de examinar lo que había publicado Hooke, escribió que "No debe pensarse que esta idea... de Hooke disminuya el mérito de Newton". "; y que "el ejemplo de Hooke" sirve "para resaltar la distancia entre una verdad apenas vislumbrada y una verdad comprobada". [25] [26]

Definición

En lenguaje moderno, la ley establece lo siguiente:

Cada punto material atrae a todos los demás puntos materiales individuales con una fuerza que apunta a lo largo de la línea de intersección de ambos puntos. La fuerza es proporcional al producto de las dos masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa:
,

Dónde está:

  • F es la intensidad de la fuerza entre las masas,
  • G es la constante gravitacional universal ,
  • m 1 es la primera masa,
  • m 2 es la segunda masa,
  • r es la distancia entre los centros de masas.

Considerando las unidades del SI , F se mide en newtons (N), m 1 y m 2 en kilogramos (kg), r en metros (m), y la constante G es aproximadamente igual a 6.674 x 10 -11 N m 2 kg − 2 . El valor de la constante G se ha determinado con precisión a partir de los resultados del experimento de Cavendish realizado por el científico británico Henry Cavendish en 1798, aunque no fue Cavendish quien calculó el valor numérico de G. [27] Este experimento fue también la primera prueba de la teoría de Newton de la gravitación entre masas en el laboratorio. Tuvo lugar 111 años después de la publicación de los Principia de Newton y 71 años después de su muerte, por lo que ninguno de los cálculos de Newton podía utilizar el valor de G ; solo podía calcular el valor de una fuerza en relación con otra.

El teorema de la capa esférica muestra que los cuerpos rígidos con distribuciones de masa esféricamente simétricas se atraen y son atraídos como puntos materiales con toda la masa ubicada en sus centros.

La ley de gravitación de Newton se parece a la ley de las fuerzas eléctricas de Coulomb , utilizada para calcular la magnitud de la fuerza eléctrica entre dos cuerpos cargados eléctricamente. Ambas son leyes del cuadrado inverso , donde la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los cuerpos. La ley de Coulomb tiene el producto de dos cargas en lugar del producto de las masas, y la constante electrostática en lugar de la constante gravitatoria.

La ley de Newton fue sustituida posteriormente por la teoría de la relatividad general de Einstein , pero sigue utilizándose como una excelente aproximación a los efectos de la gravedad. La relatividad solo se requiere cuando se necesita una precisión extrema, o cuando se trata de la gravitación de objetos de masa y densidad considerables .

Forma vectorial

La ley de gravitación universal de Newton se puede escribir como una ecuación vectorial para tener en cuenta la dirección de la fuerza gravitatoria así como su magnitud. En esta fórmula, las cantidades en negrita representan vectores.

Dónde está

F 12 es la fuerza aplicada sobre el objeto 2 debido al objeto 1, G es la constante gravitacional universal , m 1 y m 2 son las masas de los objetos 1 y 2, respectivamente, | r 12 | = | r 2 - r 1 | es la distancia entre los objetos 1 y 2, y es el vector unitario del objeto 1 al 2.

Se puede ver que la forma vectorial de la ecuación es la misma que la forma escalar indicada arriba, excepto que ahora F es una cantidad vectorial y el lado derecho se multiplica por el vector unitario apropiado. Además, se puede ver que F 12 = - F 21 .

Cuerpos con extensión espacial

Si los cuerpos en cuestión tienen una extensión espacial (en lugar de ser puntos materiales teóricos), entonces la fuerza gravitatoria entre ellos se calcula sumando las contribuciones de los puntos materiales que forman los cuerpos. En el límite, cuando los puntos materiales componentes se vuelven "infinitamente pequeños", es necesario llevar a cabo la integración de la fuerza (en forma vectorial, ver más abajo) sobre las extensiones de los dos cuerpos.

De esta manera se puede demostrar que un objeto con una distribución de masa esféricamente simétrica ejerce una atracción gravitacional sobre los cuerpos externos como si toda la masa del objeto estuviera concentrada en un punto en su centro. [28] (Esto generalmente no es cierto para cuerpos simétricos no esféricos).

Cuando dos objetos sólidos entran en contacto, la fuerza gravitacional que los atrae no se vuelve infinita porque físicamente la distancia entre dos masas no puede ser cero. Por lo tanto, la fuerza nunca puede ser infinita en condiciones normales.

Para puntos dentro de la materia con distribución esféricamente simétrica, se puede usar el teorema de la capa esférica para encontrar la fuerza gravitatoria. El teorema establece que las diferentes partes de la distribución de masa afectan la fuerza gravitacional medida en un punto ubicado a una distancia r 0 del centro de la distribución de masa: [29]

Como resultado, por ejemplo, dentro de una capa de espesor y densidad uniformes no hay aceleración gravitatoria neta en ninguna parte dentro de la esfera hueca.

Además, dentro de una esfera uniforme, la gravedad aumenta linealmente con la distancia desde el centro; el aumento debido a la masa adicional es 1,5 veces la reducción debido a la mayor distancia del centro. Por lo tanto, si un cuerpo esféricamente simétrico tiene un núcleo uniforme y un manto uniforme con una densidad menor a 2/3 de la del núcleo, entonces la gravedad inicialmente disminuye hacia afuera más allá del límite y, si la esfera es bastante grande, aún hacia afuera. la gravedad aumenta de nuevo y finalmente supera a la gravedad en el límite entre el núcleo y el manto. La gravedad de la Tierra podría alcanzar su punto máximo en el límite entre el núcleo y el manto.

El campo gravitatorio

El campo gravitacional es un campo vectorial que describe la fuerza gravitatoria que se aplicaría, por unidad de masa, a un objeto en cualquier parte del espacio. En la práctica es igual a la aceleración de la gravedad en ese punto.

Esta es una generalización de la forma vectorial, que se vuelve particularmente útil si hay más de dos objetos involucrados (como un cohete entre la Tierra y la Luna). Para dos objetos (por ejemplo, el objeto 2 es un cohete, el objeto 1 es la Tierra), simplemente escribimos r en lugar de r 12 y m en lugar de m 2 y definimos el campo gravitacional g ( r ) como:

para que podamos escribir:

Esta redacción depende del objeto que causa el campo. El campo tiene unidades de aceleración; en SI, esto es m / s 2 .

Los campos gravitatorios también son conservativos ; es decir que el trabajo realizado por la gravedad de una posición a otra es independiente de la trayectoria. Esto tiene como consecuencia que existe un campo gravitatorio potencial V ( r ) tal que

Si m 1 es un punto material o la masa de una esfera con distribución de masa homogénea, el campo de fuerza g ( r ) fuera de la esfera es isótropo, es decir, depende solo de la distancia r del centro de la esfera. Asi que

Problemas con la teoría de Newton

La descripción de Newton de la gravedad es lo suficientemente precisa para una variedad de propósitos prácticos y, por lo tanto, se usa ampliamente. No cambia mucho cuando las cantidades adimensionales φ / c 2 y (v / c) 2 son significativamente más pequeñas que uno, donde φ es el potencial gravitatorio , v es la velocidad de los objetos analizados y c es la velocidad de la luz . . [30] Por ejemplo, la gravedad newtoniana proporciona una descripción precisa del sistema Tierra/Sol, como

donde r orbit es el radio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol.

En situaciones donde uno de los parámetros adimensionales es grande, entonces se debe usar la relatividad general para describir el sistema. La relatividad general se reduce a la gravedad newtoniana en presencia de pequeños potenciales y bajas velocidades, y es por esta razón que la ley de gravitación de Newton a veces se denomina relatividad general para baja gravedad.

Implicaciones teóricas de la teoría de Newton

Observaciones en conflicto con la teoría de Newton

El hecho de que la masa gravitatoria y la masa inercial sean las mismas para todos los objetos sigue sin explicarse dentro de las teorías de Newton. La Relatividad General considera que este es un principio fundamental (ver el Principio de Equivalencia ). De hecho, los experimentos de Galileo , décadas antes que Newton, establecieron que los objetos que tienen la misma resistencia que el aire o un líquido son acelerados por la fuerza de gravedad de la Tierra de la misma manera, independientemente de sus diferentes masas inerciales . Sin embargo, las fuerzas y energías necesarias para acelerar diferentes masas dependen estrictamente de sus diferentes masas de inercia , como puede verse en la segunda ley del movimiento de Newton , F = ma.

El problema es que las teorías de Newton y sus fórmulas matemáticas explican y permiten el cálculo (inexacto) de los efectos de la precesión del perihelio de las órbitas y la desviación de los rayos de luz. Sin embargo, no explican la equivalencia del comportamiento de diferentes masas bajo la influencia de la gravedad, independientemente de las cantidades de materia involucradas.

Reservas de Newton

Si bien Newton pudo formular la ley de la gravedad en su obra monumental, se sentía profundamente incómodo con el concepto de "acción a distancia" que implicaban sus ecuaciones. En 1692, en su tercera carta a Bentley, escribió: "Que en el vacío un cuerpo puede actuar a distancia sobre otro sin la mediación de nada más, por medio y a través del cual su acción y fuerza pueden transferirse de 'a entre sí, es una tontería tan grande para mí que, creo, ningún hombre con experiencia en asuntos filosóficos podría creer jamás " .

Nunca logró, en sus palabras, "establecer la causa de esta fuerza". En todos los demás casos, utilizó el fenómeno del movimiento para explicar el origen de las diversas fuerzas que actúan sobre los cuerpos, pero en el caso de la gravedad, no pudo identificar experimentalmente el movimiento que produce la fuerza de gravedad (aunque inventó dos mecanismos mecánicos ). hipótesis en 1675 y 1717). Además, se negó incluso a ofrecer una hipótesis sobre la causa de esta fuerza, con el argumento de que esto sería contrario a la ciencia sólida. Lamentó que, para encontrar el origen de la gravedad, "hasta ahora los filósofos han intentado en vano la búsqueda de la naturaleza" porque estaba convencido "por diversas razones" de que había "causas hasta ahora desconocidas" que eran fundamentales para todas las ". fenómenos de la naturaleza".

Estos fenómenos fundamentales aún están bajo investigación y, aunque abundan las hipótesis, aún no se ha encontrado la respuesta definitiva. Y en el Escolio General de Newton de 1713 en la segunda edición de los Principia : “No he podido hasta ahora descubrir la causa de estas propiedades de la gravedad e hipótesis que no pretendo … Es suficiente que la gravedad realmente exista y actúe según las leyes que expliqué, y que sirve para tener en cuenta todos los movimientos de los cuerpos celestes" . [32]

La solución de Einstein

Estas objeciones fueron explicadas por la teoría general de la relatividad de Einstein, en la que la gravitación es un atributo del espacio-tiempo curvo en lugar de ser debida a una fuerza de propagación entre cuerpos. En la teoría de Einstein, las masas deforman el espacio-tiempo a su alrededor y otros cuerpos se mueven en trayectorias determinadas por la geometría del espacio-tiempo. Esto permitió una descripción de los movimientos de la luz y las masas en línea con todas las observaciones disponibles. En relatividad general, la fuerza gravitatoria es una fuerza aparente debida a la curvatura del espaciotiempo , como la aceleración de la gravedad de un cuerpo en caída libre se debe a su línea de universo , siendo una geodésica del espaciotiempo.

Notas

  1. ^ Isaac Newton: "En la filosofía [experimental], las oraciones específicas se deducen de los fenómenos y posteriormente se generalizan por inducción": " Principia ", Libro 3, General Scholium, en la página 392 del Volumen 2 de la traducción al inglés de Andrew Motte publicada en 1729.
  2. ^ Ver "Fundamentos más humildes y superestructuras más nobles: Hooke, Newton y la 'composición de los movimientos celestiales de los planetas'", Ofer Gal, 2003 en la página 9 .
  3. ^ HW Turnbull (ed.), Correspondencia de Isaac Newton, Vol 2 (1676-1687), (Cambridge University Press, 1960). 431-448, en particular en la pág. 431.
  4. ^ a b La declaración de 1674 de Hooke en "Un intento de probar el movimiento de la Tierra a partir de las observaciones", está disponible en facsímil en línea aquí .
  5. ^ Purrington Robert D., El primer científico profesional: Robert Hooke y la Royal Society de Londres , Springer, 2009, p. 168, ISBN  3-0346-0036-4 . , Extracto de la página 168
  6. ^ Consulte la página 239 en Curtis Wilson (1989), "El logro de Newton en astronomía", capítulo 13 (páginas 233-274) en "Astronomía planetaria desde el Renacimiento hasta el surgimiento de la astrofísica: 2A: Tycho Brahe a Newton", CUP 1989.
  7. ^ Página 309 en HW Turnbull (ed.), Correspondencia de Isaac Newton, Vol 2 (1676-1687), (Cambridge University Press, 1960), documento n.º 239.
  8. ^ ver Curtis Wilson (1989) pág. 244
  9. ^ Página 297 en HW Turnbull (ed.), Correspondencia de Isaac Newton, Vol 2 (1676-1687), (Cambridge University Press, 1960), documento n.º 235, 24 de noviembre de 1679.
  10. ^ Página 433 en HW Turnbull (ed.), Correspondencia de Isaac Newton, Vol 2 (1676-1687), (Cambridge University Press, 1960), documento n.º 286, 27 de mayo de 1686.
  11. ^ a b Páginas 435-440 en HW Turnbull (ed.), Correspondencia de Isaac Newton, Vol 2 (1676-1687), (Cambridge University Press, 1960), documento n.° 288, 20 de junio de 1686.
  12. ^ Bullialdus (Ismael Bouillau) (1645), "Astronomia philolaica", París, 1645.
  13. ^ Borelli, GA, "Theoricae Mediceorum Planetarum ex causis physicis deductae", Florencia, 1666.
  14. ^ DT Whiteside, "Antes de los Principia: la maduración de los pensamientos de Newton sobre astronomía dinámica, 1664-1684", Journal for the History of Astronomy, i (1970), páginas 5-19; especialmente en la página 13.
  15. ^ Página 436, Correspondencia, Vol. 2, ya citado.
  16. ^ Las proposiciones 70 a 75 en el Libro 1, por ejemplo en la traducción al inglés de 1729 de los 'Principia', comienzan en la página 263 .
  17. ^ Las proposiciones 43 a 45 en el Libro 1, en la traducción al inglés de 1729 de los 'Principia', comienzan en la página 177 .
  18. ^ DT Whiteside, "La prehistoria de los 'Principia' de 1664 a 1686", Notas y registros de la Royal Society de Londres, 45 (1991), páginas 11-61; especialmente a las 13-20.
  19. ^ Ver J. Bruce Brackenridge, "La clave de la dinámica de Newton: el problema de Kepler y los Principia", (University of California Press, 1995), especialmente en las páginas 20-21 .
  20. ^ Véase, por ejemplo, la traducción al inglés de 1729 de los 'Principia', en la página 66 .
  21. ^ Consulte la página 10 en DT Whiteside, "Antes de los Principia: la maduración de los pensamientos de Newton sobre astronomía dinámica, 1664-1684", Journal for the History of Astronomy, i (1970), páginas 5-19.
  22. ^ Los puntos de discusión se pueden ver, por ejemplo, en los siguientes artículos: N Guicciardini, "Reconsidering the Hooke-Newton debate on Gravitation: Recent Results", en Early Science and Medicine, 10 (2005), 511-517; Ofer Gal, "La invención de la mecánica celeste", en Early Science and Medicine, 10 (2005), 529-534; M Nauenberg, "Contribuciones de Hooke y Newton al desarrollo temprano de la mecánica orbital y la gravitación universal", en Early Science and Medicine, 10 (2005), 518-528.
  23. ^ Véase, por ejemplo, los resultados de las Proposiciones 43-45 y 70-75 en el Libro 1, citado anteriormente.
  24. ^ Véase también GE Smith, en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford, "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de Newton" .
  25. ↑ El segundo extracto se cita y se traduce en WW Rouse Ball, "An Essay on Newton's 'Principia'" (Londres y Nueva York: Macmillan, 1893), en la página 69.
  26. ↑ Las declaraciones originales de Clairaut (en francés) se encuentran (con ortografía aquí como en el original) en "Explication abregée du systême du monde, et explication des principaux phénomenes astronomiques tirée des Principes de M. Newton" (1759), en Introducción (sección IX), página 6: "Il ne faut pas croire que cette idée... de Hook diminue la gloire de M. Newton", [y] "L'exemple de Hook" [servir] "à faire voir esas distancias il ya entre une vérité entrevue & une vérité démontrée".
  27. ^ El experimento de Michell-Cavendish . Archivado el 6 de septiembre de 2017 en Internet Archive ., Laurent Hodges
  28. ^ - Proposición 75, Teorema 35: p.956 - I. Bernard Cohen y Anne Whitman, traductores: Isaac Newton , The Principia : Philosophiae Naturalis Principia Mathematica . Precedido por A Guide to Newton's Principia , de I. Bernard Cohen. Prensa de la Universidad de California 1999 ISBN 0-520-08816-6 ISBN 0-520-08817-4
  29. ^ Estado de equilibrio
  30. ^ Charles W. Misner , Kip S. Thorne y John Archibald Wheeler , Gravitation , Nueva York, WH Freeman and Company, 1973, p. 1049, ISBN 0-7167-0344-0 .  
  31. ^ - Max Born (1924), Teoría de la relatividad de Einstein (La edición de Dover de 1962, página 348 enumera una tabla que documenta los valores observados y calculados para la precesión del perihelio de Mercurio, Venus y la Tierra).
  32. ^ - La construcción de la ciencia moderna: mecanismos y mecánica , por Richard S. Westfall. Prensa de la Universidad de Cambridge. 1978

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