Observable

En física, un observable se define como cualquier cantidad que de alguna manera es medible o directamente, es decir, con las operaciones y los instrumentos de medición apropiados , o indirectamente, es decir, con el cálculo.

El concepto, central para la práctica de la ciencia tal como la define rigurosamente el método científico , ha evolucionado fuertemente con el progreso de la ciencia moderna , convirtiéndose en el centro de un acalorado debate y una cuidadosa reflexión a nivel epistemológico y ontológico dentro de la filosofía de la ciencia del siglo XX . siglo _

Evolución del concepto

Sobre todo, la reflexión sobre los fundamentos de la mecánica cuántica ha enriquecido el debate sobre el concepto de observable con nuevos, interesantes y profundos elementos de reflexión.

De hecho, si en la física clásica se consideraba cualquier cantidad, en algún sentido, observable ( masa , cantidad de movimiento , momento , energía ), ya con el electromagnetismo esta situación cambia en el sentido de que se introducen cantidades ( campos y potenciales ) que no son directamente medibles, pero son herramientas y aportes válidos para el cálculo y resolución de problemas físicos asociados.

Con la mecánica cuántica, esta división se acentúa aún más ya que, además de los límites de medida impuestos por el conocido principio de incertidumbre de Heisenberg , algunas cantidades fundamentales introducidas por esta teoría no sólo no son observables, sino que ni siquiera son cantidades reales descritas por números. complejo _ De hecho, sin embargo, la mecánica cuántica no puede prescindir de la naturaleza intrínsecamente compleja de sus tratamientos, por lo que se ha abierto el debate sobre la interpretación física de estas cantidades complejas. En el caso específico de la función de onda ha sido posible interpretar esta función como aquella cantidad cuyo módulo cuadrado (que es una cantidad real) da la densidad de probabilidad para la ubicación de una partícula. Su medida es, por tanto, un concepto puramente probabilístico: la medida de un observable perturba el sistema, por tanto, a priori, el valor de un observable no se conoce hasta que se mide: el proceso de medida hace que el sistema caiga en un estado propio de lo observable (y por lo tanto de la variable dinámica) que se mide: este hecho tiene implicaciones muy profundas que se denominan colapso de la función de onda que es a su vez el aspecto característico de la llamada y famosa interpretación de Copenhague .

Observables y operadores en mecánica cuántica

En mecánica cuántica, un observable es una cantidad dinámica del sistema o estado cuántico .

En el enfoque matemático de la mecánica cuántica, un observable es representado por un operador lineal en general complejo y en particular hermitiano , que opera sobre un vector de estado del sistema. En general, la linealidad se expresa:

{\ sombrero f} (c_ {1} \ psi _ {1} + c_ {2} \ psi _ {2}) = c_ {1} {\ sombrero f} \ psi _ {1} + c_ {2} { \sombrero f}\psi_{2}

La característica de la mecánica cuántica es intrínsecamente probabilística, esta característica está cuantitativamente descrita por el principio de incertidumbre de Heisenberg : la teoría de la mecánica ondulatoria nos permite predecir el comportamiento de un sistema cuántico sobre la base de la probabilidad de encontrar un cierto valor del observable. Una medida provoca una proyección del estado, generalmente descrito por una superposición infinita de estados, sobre un estado propio de lo observable. Esto lleva a que todos los valores posibles que puede asumir un observable deben ser valores propios del observable mismo.

Dado un estado del sistema

{\ estilo de visualización | \ varphi \ rangle = \ sum _ {j} c_ {j} | e_ {j} \ rangle}

donde son los vectores base del estado, la acción de un observable sobre ese estado se identifica enteramente por su acción sobre los vectores base: ${\ estilo de visualización | e_ {j} \ rango}$ $A$

{\ estilo de visualización A | \ varphi \ rangle = \ sum _ {j} c_ {j} A | e_ {j} \ rangle = \ sum _ {j} c_ {j} \ sum _ {i} c_ {ij} ^ {A} | e_ {i} \rangle = \sum_ {i, j} c_ {j} c_ {ij} ^ {A} | e_ {i} \rangle}

donde están los coeficientes que caracterizan al operador cuando actúa sobre el i-ésimo estado base, y están definidos por: $c _ {{ij}} ^ {A}$ $A$

c _ {{ij}} ^ {A} = \ langle y _ {{i}} | A | e _ {{j}} \ rangle

Por lo tanto, es posible representar el operador como una matriz de los coeficientes , es decir, como una matriz con respecto a una base dada. De hecho, la acción de un operador también se puede escribir: $c _ {{ij}} ^ {A}$

{\ estilo de visualización \ sum _ {i, j} | e_ {i} \ rangle \ langle e_ {i} | A | e_ {j} \ rangle \ langle e_ {j} | = \ sum _ {i, j} c_ {ij} ^ {A} | e_ {i} \ rangle \ langle e_ {j} |}

Consideremos el caso en que la matriz de los coeficientes es diagonal y los elementos de la diagonal son reales: entonces los elementos de la matriz son los valores propios del observable, y los vectores base coinciden con los estados propios del observable , y siendo la matriz diagonal forman una base ortonormal . En este caso tenemos que el operador está asociado con el observable, y tenemos $a'$ $| y _ {{i}}\rango$ $| un '\ rango$ $A$

A = \ sum _ {{a '}} a' | a '\ rangle \ langle a' |

La ecuación de valor propio del operador es por lo tanto:

A | un '\ rango = a' | un '\ rango

La interpretación de este hecho es que en mecánica cuántica se postula que todos los valores propios de un observable son también todos los resultados posibles de la medida del observable. Por lo tanto, cada estado propio está asociado con un posible resultado de medición, y una medición colapsa el estado del sistema, que generalmente es una superposición de estados, en un estado propio del observable que se está midiendo. El autor de este colapso es el proyector , que precipita el sistema aportando el coeficiente . En este estado el sistema permanece independientemente de la evolución temporal, hasta que un agente externo interviene y modifica su estado. $a'$ $A$ $|a '\rangle\langle a' |$ $a'$

Luego explicamos cómo es posible desarrollar cualquier vector de estado en términos de los vectores propios del observable : $A$

| \ varphi \ rangle = \ sum _ {{a '}} c _ {{a'}} | a '\ rangle

La base de los estados propios es una base ortonormal, es decir: $| un '\ rango$

\ langle a_ {i} | a_ {j} \ rangle = \ delta _ {{ij}}

El significado de los coeficientes es el de amplitud de probabilidad de los posibles valores de la medida de . El valor medio del observable : $c_{{a'}} = \langle a' | \varphi\rangle$ $A$ $A$

\ langle A \ rangle = \ langle \ varphi | A | \ varphi \ rangle = \ sum _ {{a '}} | c _ {{a'}} | ^ {{2}} a '

y la condición de normalización del vector de estado:

\ langle \ varphi | \ varphi \ rangle = \ sum _ {{a '}} | c _ {{a'}} | ^ {2}

es consecuencia de la normalización de los estados propios de , y significa que los resultados de las medidas son exclusivos y exhaustivos. $A$

Propiedades del operador

Una vez que hemos encontrado los valores propios y los vectores propios de un observable, podemos demostrar algunas propiedades de los operadores hermitianos que los representan.

La primera propiedad es que los valores propios de un operador hermitiano son reales, esto ya lo habíamos deducido, pero ahora se puede demostrar rigurosamente, de hecho si es el valor propio de con vector propio el que se normaliza (aunque no necesariamente) que es entonces el valor medio de : $a'$ $A$ $| un '\ rango$ $\ langle a '| a' \ rangle = 1$ $A$

\ langle a '| A | a' \ rangle = a '\ langle a' | a '\ rangle = a'

Dado que A es hermitiano, entonces se cumple lo siguiente:

\ langle a '| A | a' \ rangle = \ langle a '| A | a' \ rangle ^ {*} = a '^ {*}

de donde se deduce que:

\ langle a '| A | a' \ rangle = a '= a' ^ {*}

y por tanto , que, como sabemos, sólo es válida si . $un '= un' ^ {*}$ $a '\ en {\ mathbb {R}}$

Otra propiedad se refiere a los vectores propios de un operador hermitiano: si corresponden a valores propios diferentes, entonces son vectores propios ortogonales. De hecho, si hemos encontrado dos valores propios diferentes de con sus dos vectores propios, entonces: $a '\ neq a' '$ $A$ $| un '\ rango, | un' '\ rango$

\ langle a '| A | a' '\ rangle = a' '\ langle a' | a '' \ rangle

pero para la hermiticidad de A también vale lo siguiente:

\ langle a '| A | a' '\ rangle = \ langle a' '| A | a' \ rangle ^ {*} = a '\ langle a' '| a' \ rangle ^ {*} = a '\ langle a '| a' '\ rangle

Igualando estas dos expresiones y restando una de la otra:

(a '' - a ') \ langle a' | a '' \ rangle = 0

y dado que , la única forma de que la expresión anterior sea nula es que: $a '\ neq a' '$

\ langle a '| a' '\ rangle = 0

eso es precisamente eso y son ortogonales. $| un '\ rango$ $| un ''\rango$

Tenga en cuenta que si dos o más vectores propios están asociados con un valor propio (valores propios degenerados), estos generalmente no serán ortogonales, sin embargo, cualquier combinación lineal de vectores propios es siempre una solución de la ecuación de valor propio y uno siempre puede elegir uno para que sea ortogonal al otros valores propios.

Valor medio de un observable

Sean los posibles valores de un operador ; cada uno de estos tiene una cierta probabilidad de ocurrir si medimos . El valor medio de un operador es el valor medio de todos los posibles resultados de la medida de pesaje con sus respectivas probabilidades: $hacia}$ $\ matemáticasbf {A}$ $Pi}$ $A$ $A$

\ langle A \ rangle = \ sum _ {i} a_ {i} P_ {i}

En mecánica cuántica toda cantidad física está asociada a un operador lineal y este operador se define de tal forma que en un estado el valor medio de su cantidad asociada es: $|\varphi\rangle$

\ langle A \ rangle = \ langle \ varphi | A | \ varphi \ rangle

es decir, el valor esperado de la cantidad asociada con el operador de estado . Dado que los valores de las medidas y por tanto el valor medio de un operador deben ser reales, al ser cantidades observables, este hecho limita los posibles valores que puede asumir el observable. $A$ $\ matemáticasbf {A}$ $|\varphi\rangle$

Se da un estado:

|\varphi\rangle=a |\alpha\rangle+b |\beta\rangle

donde _ Calculemos el valor esperado de este estado: $a, b \ en {\ mathbb {C}}$ $A$

\ langle \ varphi | A | \ varphi \ rangle = \ left (a ^ {*} \ langle \ alpha | + b ^ {*} \ langle \ beta | \ right) A \ left (a | \ alpha \ rangle + b | \ beta \ rangle \ right) = | a | ^ {2} \ langle \ alpha | A | \ alpha \ rangle + | b | ^ {2} \ langle \ beta | A | \ beta \ rangle + a ^ {*} b \ langle \ alpha | A | \ beta \ rangle + ab ^ {*} \ langle \ beta | A | \ alpha \ rangle

donde todos los términos de la suma deben ser reales. Ahora los primeros dos términos son reales por definición y representan la probabilidad de los dos coeficientes y , luego igualando los otros dos términos a sus conjugados : $| un | ^ {2}$ $| segundo | ^ {2}$ $a$ $b$

a ^ {*} b \ langle \ alpha | A | \ beta \ rangle + ab ^ {*} \ langle \ beta | A | \ alpha \ rangle = ab ^ {*} \ langle \ beta | A ^ {{\ daga}} | \ alpha \ rangle + a ^ {*} b \ langle \ alpha | A ^ {{\ dagger}} | \ beta \ rangle

\ langle \ alpha | A | \ beta \ rangle = \ langle \ alpha | A ^ {{\ dagger}} | \ beta \ rangle

eso es

A = A ^ {{\ daga}}

es decir, los operadores lineales que representan cantidades observables en la mecánica cuántica deben ser operadores hermitianos . Solo en este caso, de hecho, su valor promedio y sus valores propios son reales.

Para determinar los posibles valores de un observable, debemos determinar los valores propios del operador hermitiano correspondiente, es decir, resolver la ecuación de valores propios:

A | un '\ rango = a' | un '\ rango

Esta ecuación es bien conocida en álgebra lineal , representa el valor propio al que corresponden uno o más vectores propios ; si el vector propio asociado es más de uno, se dice que el valor propio es degenerado. El conjunto de valores propios se denomina espectro y los vectores propios también se denominan estados propios de en el contexto de la mecánica cuántica . Por supuesto, hay espectros discretos y espectros continuos y también espectros mixtos: casos notables en mecánica cuántica son el operador de posición y el operador de impulso que tienen un espectro continuo. $a'$ $| un '\ rango$ $\{a'\}$ $A$

Caso continuo

Todas las consideraciones hechas para el caso discreto se aplican al caso continuo. La ecuación de valores propios en el caso continuo se convierte en:

{\ sombrero f} \ psi _ {f} (q) = f \ psi _ {f} (q)

donde hemos indicado con el operador, con el autovalor continuo y con el autostato o autofunción del operador en función de las coordenadas. Si f son valores continuos, entonces se puede desarrollar un vector de estado genérico en términos de estados propios de : ${\ sombrero f}$ $F$ $\ psi _ {f} (q)$ ${\ sombrero f}$

\ psi (q) = \ int df \, a (f) \ psi _ {f} (q)

donde la integral debe sustituirse por la suma, corresponden a los coeficientes del caso discreto. Su interpretación es que la probabilidad de encontrar la partícula entre el valor y : $una (f)$ $c_ {n}$ $F$ ${\ estilo de visualización f + df}$

dP = | a (f) | ^ {2} df \

y la normalización debe seguir en consecuencia:

\ int df \, | a (f) | ^ {2} = 1

De hecho, siempre debemos asegurarnos de que la función de onda esté normalizada: $\ psi (q)$

\ int dq \ Psi ^ {*} (q) \ Psi (q) = 1

La normalización de los estados propios o funciones propias de un operador en el caso continuo es más delicada. De hecho sabemos que los coeficientes deben obtenerse de: $una (f)$

{\ estilo de visualización a (f) = \ int dq \, \ psi _ {f} ^ {*} (q) \ Psi (q)}

por otro lado debe ser:

{\ estilo de visualización \ int dq \, \ psi _ {f} ^ {*} (q) \ Psi (q) = \ int df '\, a (f') \ izquierda [\ int dq \ psi _ {f} ^{*}(q)\psi_{f'}(q)\derecha]=a(f)}

por lo que la integral entre paréntesis debe ser tal que se anule cuando , al mismo tiempo debe proporcionar cuando y al mismo tiempo garantizar la normalización de la función de onda. Esta normalización está garantizada por la función delta de Dirac, que es una función generalizada : $f \ neq f '$ $una (f)$ $f = f'$

\ int dq \ psi _ {{f}} ^ {{*}} (q) \ psi _ {{f '}} (q) = \ delta (ff')

Algunas propiedades fundamentales de la función delta de Dirac son:

{\ begin {casos} \ delta (x) = 0 & x \ neq 0 \\\ delta (x) = \ delta (0) = \ infty & x = 0 \ end {casos}}

{\ begin {casos} \ delta (x-x_ {0}) = 0 & x \ neq x_ {0} \\\ delta (x-x_ {0}) = \ infty & x = x_ {0} \ end {casos} }

Esta función tiene las más numerosas y variadas aplicaciones. Una aplicación importante en la mecánica cuántica que veremos es:

\ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} dx \, e ^ {{ix '(kk')}} = 2 \ pi \ delta (kk ')

y en tres dimensiones

\ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} d {\ mathbf {r}} \, e ^ {{i {\ mathbf {r}} ({\ mathbf {k}} - {\ mathbf{k}}')}} = (2\pi)^{3}\delta ({\mathbf{k}} - {\mathbf{k}}')

Observables compatibles

Se dice que dos observables son compatibles si los operadores que los representan tienen una base común de autoestados: de hecho, tener los mismos autoestados significa que hay una base en la que las matrices de los coeficientes de los dos operadores son diagonales. Por tanto, dados dos observables compatibles y una base formada por vectores , las respectivas ecuaciones de valores propios son: $A$ $B.$ $|e_{i}\rango$

A | e_ {i} \rangle = a'| e_ {i}\rangle

B | e_ {i} \rangle = b'| e_ {i}\rangle

Dado que dos matrices diagonales siempre conmutan, otra propiedad de los observables compatibles es el hecho de que el conmutador entre los dos operadores respectivos es nulo. De hecho, existe un teorema que establece que la condición necesaria para que dos operadores admitan los mismos estados propios es que conmuten.

Los observables incompatibles, a veces llamados complementarios , son, por el contrario, observables representados por operadores que no cambian. En general, cualquier par de observables genéricos, que no estén en la relación de ser compatibles , no pueden ser medidos simultáneamente, excepto a costa de incertidumbres, uno tanto mayor como el otro menor.

Principio de incertidumbre de Heisenberg

El principio de incertidumbre de Heisenberg establece que no es posible conocer simultáneamente los valores de dos observables incompatibles, y cuantifica la imprecisión de su medición simultánea.
Formulado por Werner Heisenberg en 1927 para el caso de la posición y el momento , el principio se aplica a cualquier par de variables canónicamente conjugadas. En las formulaciones modernas de la mecánica cuántica el principio ya no es tal sino un teorema fácilmente derivable a partir de postulados .

En el caso más conocido de la incertidumbre entre posición y momento tenemos:

\ Delta {\ sombrero {x}} \ Delta {\ sombrero {p}} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}}

Dados dos observables cualesquiera y , el principio en su forma más general es $A$ $B.$

\ Delta {\ sombrero {A}} \ Delta {\ sombrero {B}} \ geq {\ frac {1} {2}} \ izquierda \ | \ izquierda \ langle \ izquierda [{\ sombrero {A}}, { \ hat {B}} \ right] \ right \ rangle \ right \ |

Bibliografía

Sunny Auyang, ¿Cómo es posible la teoría cuántica de campos? , Oxford, Oxford University Press, 1995, ISBN 978-01-95-09345-2 .
George Mackey, Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica , Publicaciones de Dover, 2004 , ISBN 978-04-86-43517-6 .
( EN ) Veeravalli S. Varadarajan, The Geometry of Quantum Mechanics, vols 1 and 2 , Berlin, Springer, 2006, ISBN 978-03-87-49385-5 .
Peter Atkins , Julio De Paula, Química Física , 4ª ed., Bolonia, Zanichelli, 2004, ISBN 88-08-09649-1 .
Valter Moretti Teoría Espectral y Mecánica Cuántica. Operadores en Hilbert Springer-Verlag Spaces, 2010

Enlaces externos

( EN ) Observable , en Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.