Movimiento browniano

El término movimiento browniano se refiere al movimiento desordenado de partículas lo suficientemente pequeñas (que tienen un diámetro del orden de un micrómetro ) para estar sujetas a una fuerza de gravedad despreciable , presente en fluidos o suspensiones fluidas o gaseosas (por ejemplo, humo), [ 1 ] y observable bajo el microscopio . El fenómeno fue descubierto a principios del siglo XIX por el botánico escocés Robert Brown , [1] y modelado en 1905 por el físico teórico alemán Albert Einstein . [1] [2]

El término se usa para indicar tanto el fenómeno natural como su representación matemática, que puede describir el transcurso del tiempo de una clase muy grande de fenómenos aleatorios . Una importante categoría de fenómenos que pueden ser representados con las herramientas matemáticas del movimiento browniano la constituye la tendencia de los mercados financieros , como lo demuestra desde 1900 el matemático francés Louis Bachelier , en su obra Théorie de la spéculation . [3]

Historia

Aunque una primera observación del fenómeno ya había tenido lugar en 1785 por Jan Ingenhousz , el término "movimiento browniano" deriva del nombre de Robert Brown, quien lo observó en 1827 mientras estudiaba las partículas de polen de Clarkia pulchella en agua bajo el microscopio : Observó que los granos de polen estaban en continuo movimiento y que en cada instante este movimiento se producía en direcciones aleatorias.

Habiendo comprobado que el movimiento no se debía a corrientes o evaporación de agua, Brown pensó que estas partículas estaban "vivas", similares a los espermatozoides . Luego verificó su teoría realizando el mismo experimento con una planta muerta, con diminutos fragmentos de madera fósil y con fragmentos de vidrio, mientras observaba el mismo fenómeno. Esto significaba que el movimiento de las partículas no debía atribuirse a ninguna "fuerza vital", pero Brown no pudo proporcionar ninguna otra explicación para este fenómeno.

A finales del siglo XIX, el químico francés Leon Gouy planteó por primera vez la hipótesis de que el movimiento observado por Brown se debía a la agitación térmica de los átomos constituyentes de la materia, pero no desarrolló una teoría verificable del fenómeno. [4] En 1905 Albert Einstein publicó " Über die von der molekularkinetischen Theorie der Bewegung von Wärme geforderte in ruhenden suspendierten Flüssigkeiten Teilchen " [5] , uno de los artículos producidos durante su annus mirabilis ; en él Einstein proporcionó una explicación física del movimiento browniano, atribuyendo la causa a las colisiones de los granos de polen con las moléculas de agua, a su vez movidas por agitación térmica . También pudo dar una descripción cuantitativa del fenómeno, que pudo verificarse experimentalmente. Este artículo fue seguido, durante los siguientes tres años, por otras contribuciones sobre el mismo tema. [6] Esta explicación fue una anticipación del teorema de disipación de fluctuación más general .

La primera verificación experimental de los resultados de Einstein se debe a JB Perrin , quien por este y otros resultados obtuvo el Premio Nobel en 1926. A Perrin también le debe el libro Les atomes ("Átomos", 1913), muy conocido en la época, que ayudó a sustentar y difundir la nueva teoría sobre la estructura atómica de la materia , demostrada, entre otras cosas, por el movimiento browniano.

Desde un punto de vista teórico, el trabajo de Einstein fue desarrollado por M. Smoluchowski y P. Langevin . Sus contribuciones están en el origen del nuevo campo de los procesos estocásticos y las ecuaciones diferenciales estocásticas , que extienden las herramientas matemáticas inicialmente desarrolladas para el movimiento browniano a la representación de una vasta clase de fenómenos, de interés no solo para la física, sino también para la química . , la teoría de las telecomunicaciones y las finanzas .

Entre los desarrollos matemáticos del tratamiento de los movimientos brownianos posteriores al trabajo de Einstein, es particularmente conocido el propuesto por N. Wiener en 1923, conocido como proceso de Wiener . [7]

Introducción

Cuando un fluido se encuentra en equilibrio termodinámico, se podría pensar que las moléculas que lo componen son esencialmente estacionarias o que en todo caso vibran alrededor de su posición de equilibrio por efecto de la temperatura . Sin embargo, si observamos el movimiento de un fluido de este tipo, por ejemplo, dispersando partículas de colores muy claros y observando su movimiento, notamos que están todo menos en reposo. Lo que se observa es que cada partícula sigue un movimiento desordenado cuya naturaleza parece ser independiente de la naturaleza de la partícula misma.

Esto se debe a que la partícula en cuestión sufre un gran número de eventos de colisión con las moléculas del fluido en el que se encuentra inmersa.

Cuanto más pequeñas son las partículas, más rápido es el movimiento browniano. Este movimiento contrarresta la fuerza de la gravedad y estabiliza las soluciones coloidales . Esta característica permite evaluar si una suspensión de partículas tiene o no carácter coloidal : de hecho, a medida que aumenta el tamaño de las partículas, la dispersión coloidal se acercará cada vez más a una suspensión en la que la resultante de colisiones con el dispersante será casi nula, presentando un movimiento browniano casi nulo (lo que sucede en el fluido no newtoniano ).

Tratamiento matemático del movimiento browniano

Consideremos una partícula de masa sumergida en un fluido, en equilibrio termodinámico, a una temperatura Esta partícula estará sujeta a: $METRO.$ ${\ estilo de visualización T.}$

a la fuerza de fricción viscosa , donde es el coeficiente de fricción viscosa y es la velocidad de la partícula misma ${\ estilo de visualización {\ barra {F}} = - \ lambda {\ barra {v}}}$ $\ lambda$ ${\ estilo de visualización {\ barra {v}}}$
a la fuerza resultante de las colisiones con las moléculas que componen el fluido. ${\ estilo de visualización {\ barra {f}}}$

Respecto a la fuerza aleatoria podemos hacer las siguientes hipótesis: ${\ estilo de visualización {\ barra {f}}}$

Isotropía : la fuerza no tiene direcciones privilegiadas y por tanto su valor medio es cero :. ${\ estilo de visualización \ izquierda \ langle {\ bar {f}} (t) \ derecha \ rangle = 0}$
Escorrelación : la fuerza fluctúa continuamente y en todo momento no está correlacionada con su valor en un instante anterior y por tanto . ${\ estilo de visualización \ izquierda \ langle {\ bar {f}} (t) {\ bar {f}} (t ') \ derecha \ rangle = \ Lambda \ delta (tt')}$
Normalidad : la fuerza es el resultado de un número muy grande de eventos que son independientes entre sí. Suponiendo que la varianza de la distribución de probabilidad de cada uno de estos eventos es finita, podemos aplicar el teorema del límite central . A su vez, este teorema nos permite suponer que la fuerza tiene una distribución gaussiana .

La primera ecuación cardinal de la dinámica toma la forma conocida como ecuación de Langevin :

{\ estilo de visualización {\ frac {\ nombre del operador {d} {\ bar {v}} (t)} {\ nombre del operador {d} t}} = - {\ frac {\ lambda} {m}} {\ bar {v }} (t) + {\ fracción {{\ barra {f}} (t)} {m}}}

que tiene como solución

{\ estilo de visualización {\ bar {v}} (t) = mi ^ {- {\ frac {\ lambda} {m}} t} \ izquierda [\ int _ {0} ^ {t} {\ frac {1} {m}} e ^ {{\ frac {\ lambda} {m}} t '} {\ bar {f}} (t') \ nombre del operador {d} t '+ {\ bar {v}} (0) \ Correcto]}

y por lo tanto

{\ estilo de visualización \ izquierda \ langle {\ bar {v}} (t) \ derecha \ rangle = {\ bar {v}} (0) y ^ {- {\ frac {\ lambda} {m}} t}}

Integrando nuevamente la velocidad, obtenemos que el desplazamiento viene dado por

{\ estilo de visualización {\ bar {r}} (t) = {\ bar {r}} (0) + \ int _ {0} ^ {t} e ^ {- {\ frac {\ lambda} {m}} t '} \ izquierda [\ int _ {0} ^ {t'} {\ frac {1} {m}} e ^ {{\ frac {\ lambda} {m}} t ''} {\ bar {f }} (t '') \ nombre del operador {d} t '' + {\ bar {v}} (0) \ derecha] \ nombre del operador {d} t '}

y por lo tanto, tomando el promedio de la fuerza aleatoria , en el caso , $f (t)$ ${\ estilo de visualización {\ barra {v}} (0) = 0}$

{\ estilo de visualización \ izquierda \ langle {\ bar {r}} ^ {2} (t) \ right \ rangle = {\ bar {r}} ^ {2} (0) {\ frac {m ^ {2}} {\ lambda ^ {2}}} \ izquierda (e ^ {- {\ frac {\ lambda} {m}} t} -1 \ derecha) ^ {2} + {\ frac {\ Lambda} {\ lambda ^ {2}}} t + {\ frac {2 \ lambda m} {\ lambda ^ {3}}} \ izquierda (e ^ {- {\ frac {\ lambda} {m}} t} - {\ frac { 1 } {4}} y ^ {- 2 {\ frac {\ lambda} {m}} t} - {\ frac {3} {4}} \ derecha)}

Para tiempos largos esta ecuación se simplifica a ${\ estilo de visualización \ izquierda (t \ dd {\ frac {m} {\ lambda}} \ derecha)}$

{\ estilo de visualización \ izquierda \ langle {\ bar {r}} ^ {2} (t) \ derecha \ rangle \ cong {\ frac {\ Lambda} {\ lambda ^ {2}}} t = 2Dt}

donde la constante definida por

{\ estilo de visualización D = {\ frac {1} {2}} ~ \ lim _ {t \ flecha derecha \ infty} {\ frac {\ izquierda \ langle {\ bar {r}} ^ {2} (t) \ derecha \rango} {t}}}

se llama difusividad de la materia .

La ecuación de difusión

Macroscópicamente, una partícula sujeta a un movimiento browniano sufre, en un tiempo infinitesimal , un desplazamiento distribuido como una gaussiana con media y varianza cero . Un método para analizar este movimiento es estudiar cómo evoluciona la distribución de probabilidad de encontrar la partícula en la posición a la vez . $\delta t$ ${\ estilo de visualización \ delta {\ barra {r}}}$ ${\ estilo de visualización 2D \ delta t}$ ${\ estilo de visualización \ rho ({\ barra {r}}, t)}$ ${\ estilo de visualización {\ barra {r}}}$ ${\ estilo de visualización t + \ delta t}$

Esto se puede reescribir como la probabilidad de que la partícula esté en a en un tiempo t multiplicada por la probabilidad condicional de que, en el intervalo de tiempo , la partícula se haya movido de a , integrada en todos ${\ estilo de visualización {\ barra {r}} \, '}$ $\delta t$ ${\ estilo de visualización {\ barra {r}} \, '}$ ${\ estilo de visualización {\ barra {r}}}$ ${\ estilo de visualización {\ barra {r}} \, '}$

{\ estilo de visualización \ rho ({\ bar {r}}, t + \ delta t) = \ int \ rho ({\ bar {r}} \, ', t) \ cdot P (\ delta {\ bar {r } }, \ delta t | {\ bar {r}} \, ', t) \ cdot \ nombre del operador {d} {\ bar {r}} \,'}

donde la probabilidad condicional, como se indicó anteriormente, se puede escribir como

{\ estilo de visualización PAGS (\ delta {\ bar {r}}, \ delta t | {\ bar {r}} \, ', t) = {\ frac {1} {(4 \ pi D \ delta t) ^ {\ frac {3} {2}}}} e ^ {- {\ frac {| \ delta {\ bar {r}} | ^ {2}} {4D \ delta t}}} \ Rightarrow \ rho ({ \ bar {r}}, t + \ delta t) = \ int \ rho ({\ bar {r}} \, ', t) \ cdot {\ frac {1} {(4 \ pi D \ delta t) ^ {\ frac {3} {2}}}} e ^ {- {\ frac {| \ delta {\ bar {r}} | ^ {2}} {4D \ delta t}}} \ cdot \ operatorname { d } {\ barra {r}}}

para pequeño también será pequeño y por lo tanto podemos realizar un desarrollo en serie de Taylor para obtener $\delta t$ ${\ estilo de visualización \ delta {\ barra {r}}}$

{\ estilo de visualización \ rho ({\ bar {r}}, t + \ delta t) = \ rho ({\ bar {r}}, t) + D \ delta t \ nabla ^ {2} \ rho ({\ bar {r}}, t) \ Rightarrow {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} \ rho ({\ bar {r}}, t) = D \ nabla ^ {2} \ rho ({\ bar {r}}, t)}

que es la bien conocida ecuación de difusión .

La ecuación de Fokker-Planck

Si introducimos una fuerza externa (generada por un potencial ) a la que está sujeta la partícula $tu$

{\ estilo de visualización {\ bar {F}} = - \ nabla U}

podemos pensar que en ausencia de la fuerza aleatoria la partícula alcanzaría una cierta velocidad límite

{\ estilo de visualización v_ {lim} = {\ frac {\ bar {F}} {\ lambda}}}

debido a la fricción viscosa . Por tanto, podemos escribir que:

{\ estilo de visualización \ izquierda \ langle \ delta {\ bar {r}} \ derecha \ rangle = v_ {lim} \ delta t \ cong {\ frac {\ bar {F}} {\ lambda}} \ delta t}

{\ estilo de visualización \ izquierda \ langle \ delta r_ {i} \ delta r_ {j} \ derecha \ rangle \ cong 2D \ delta _ {ij} \ delta t}

Insertando estos términos en el desarrollo de se obtiene ${\ estilo de visualización \ rho ({\ bar {r}}, t + \ delta t)}$

{\ displaystyle {\ frac {\ parcial \ rho} {\ parcial t}} = - \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {\ bar {F}} {\ lambda}} \ rho -D \ nabla \ rho \ Correcto)}

que es la generalización de la ecuación de difusión al caso de fuerzas externas distintas de cero, y se conoce como ecuación de Fokker-Planck.

Bachelier y la representación matemática de los mercados financieros

El matemático francés Louis Bachelier en su tesis doctoral de 1900 sobre la " Théorie de la spéculation " desarrolló una teoría, basada en un enfoque estadístico , con el objetivo de dar cuenta de la tendencia en los precios de los valores en la Bolsa de Valores de París . Las herramientas matemáticas utilizadas por él son muy similares a las utilizadas por Einstein en el análisis del movimiento browniano, y comparten los supuestos fundamentales: que las variaciones de la cantidad en cuestión (los precios de los valores en este caso, los desplazamientos en el de las de las partículas) son independientes de las anteriores, y que la distribución de probabilidad de estas variaciones es gaussiana. Por esta obra, que representa la primera representación matemática de la evolución temporal de los fenómenos económico-financieros, Bachelier es considerado el padre de las finanzas matemáticas [8] ; en su honor, William Feller propuso indicar el juicio de Wiener como el juicio de Bachelier - Wiener.

Siguiendo la tesis de Bachelier de 1900, su método cayó en desuso durante mucho tiempo y no se desarrolló más con referencia específica a los mercados financieros. Solo desde la década de 1960, los partidarios de la hipótesis de la eficiencia del mercado (según la cual el precio de un activo encarna toda la historia pasada) han utilizado las matemáticas de Bachelier, en la versión más actualizada representada por el proceso de Wiener, para representar la tendencia del precio de los valores. en un mercado financiero . Desde entonces este enfoque ha pasado definitivamente a formar parte de las herramientas de la teoría financiera con el conocido trabajo de Black y Scholes de 1973, que a partir de la hipótesis de cambios " brownianos " en los precios de los valores financieros deriva una fórmula para estimar la tendencia en el momento de los precios de los productos financieros derivados . El término más utilizado hoy en día para indicar esta representación matemática se refiere al concepto de "paseo aleatorio", o paseo aleatorio .

Hoy en día, mientras que las matemáticas del movimiento browniano comúnmente utilizadas en física se basan en el cálculo estocástico de Stratonovic, en finanzas se utilizan principalmente el cálculo estocástico de Itō y Malliavin . Las aplicaciones numéricas en la fijación de precios de productos financieros a menudo recurren a métodos de simulación de Monte Carlo .

Finalmente, cabe mencionar que en las últimas décadas muchos autores (entre ellos, B. Mandelbrot y N. Taleb ) han destacado las limitaciones del modelo teórico de Bachelier y sus dificultades para representar correctamente los mercados financieros, principalmente por sus supuestos ya mencionados ( independencia de las variaciones de precios de su tendencia pasada y su distribución gaussiana).

Notas

^ a b c ( EN ) Thermopedia, "Movimiento browniano"
^ ( DE ) Albert Einstein, Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen , en Annalen der Physik , vol. 322, núm. 8, págs. 381-588, DOI : 10.1002 / y p . 19053220806 .
^ ( FR ) L. Bachelier, Théorie de la spéculation , en Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure , vol. 17, 1900, págs. 21–86, DOI : 10.24033/asens.476 . Consultado el 29 de mayo de 2019 .
^ R. Maiocchi , " El caso del movimiento browniano", resumen
^ en italiano : Sobre la teoría cinético-molecular del movimiento debido al calor de partículas suspendidas en líquidos en reposo
^ " Zur theorie der Brownschen bewegung ", 1906; " Theoretische bemerkung über die Brownsche bewegun ", 1907; " Teorías elementales der Brownschen bewegung ", 1908.
^ Sobre los aspectos históricos del desarrollo de la teoría del movimiento browniano, consulte el artículo: Leon Cohen, The history of noise, IEEE Transactions on Signal Processing, noviembre de 2005 (de la página de inicio del Prof. A. Vulpiani de la Universidad de Roma La Sapienza)
^ B. Mandelbrot y R. Hudson, 3 , en El desorden de los mercados. Una visión fractal del riesgo, la ruina y la rentabilidad , Einaudi, 2005, ISBN 88-06-16961-0 .

Bibliografía

Los trabajos originales de Einstein se han vuelto a publicar varias veces en traducción al inglés, por ejemplo en:
- Investigaciones sobre la teoría del movimiento browniano , BN Publishing, 2011, ISBN 978-1607962854 . o
- Investigaciones sobre la teoría del movimiento browniano (Dover Books on Physics) , Dover Publications, 1956, ISBN 978-0486603049 .
Jean Baptiste Perrin, Les Atomes (1913) (disponible en traducción al inglés en https://archive.org/details/atomsper00perruoft )
Richard Feynman , La física de Feynman , Bolonia, Zanichelli, 2001, ISBN 978-88-08-16782-8 . :
- Vol. I, capítulo 41: movimiento browniano
Luca Peliti, Notas sobre mecánica estadística , Turín, Bollati Boringhieri, 2003, ISBN 978-88-33-95712-8 .
( EN ) Takeyuki Hida, Brownian Motion , Berlín, Springer, 2012, ISBN 978-14-61-26032-5 .
( EN ) Ioannis Karatzas y Steve E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus , Berlín, Springer, 2004, ISBN 978-03-87-97655-6 .
( EN ) Daniel Revuz y Marc Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion , Berlín, Springer, 1999, ISBN 978-35-40-64325-8 .
( ES ) 1F. Black y M. Scholes, The Pricing of Options and Corporate Liabilities , en Journal of Political Economy , 81 (30), 1973, págs. 637-654.
Mark Haw, Mundo medio: el corazón inquieto de la materia y la vida , Macmillan (noviembre de 2006) - En el mundo medio: el movimiento browniano entre la materia y la vida , Zanichelli (2008).
( EN ) Neil Gershenfeld, The Nature of Mathematical Modeling , Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-05-21-21050-8 .
( EN ) Sidney Resnick, Aventuras en los procesos estocásticos , Birkhauser, 1992, ISBN 978-08-17-63591-6 .

Otros proyectos

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Enlaces externos

( EN ) Movimiento browniano , en Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

( EN ) Libro de oro de la IUPAC, "Movimiento browniano" , en goldbook.iupac.org .
( EN ) Edward Nelson, Dynamical Theories of Brownian Motion (1967) (para descargar el artículo en formato .pdf)
( EN ) Robert Brown, Microscopical Observations of Active Molecules (1827) : artículo original sobre las observaciones de Brown (formato .pdf)