Inducción eléctrica

En física , la inducción eléctrica , también denominada desplazamiento eléctrico , es un campo vectorial utilizado en electromagnetismo para describir la polarización eléctrica de un material dieléctrico tras la aplicación de un campo eléctrico . Es una generalización del campo eléctrico utilizado en las ecuaciones de Maxwell para describir el efecto de las cargas de polarización en la configuración espacial y temporal del campo electromagnético .

Definición

La inducción eléctrica se define como el vector tal que: [1] $\ matemáticasbf D$

{\ mathbf {D}} = \ varepsilon _ {0} {\ mathbf {E}} + {\ mathbf {P}}

donde es la constante dieléctrica del vacío , el campo eléctrico y el vector de polarización eléctrica que se genera en el material. $\varepsilon_0$ $\ matemáticasbf E$ $\ matemáticasbf P$

En el Sistema Internacional de Unidades, el vector de inducción eléctrica se mide en culombios por metro cuadrado .

Polarización en materiales

El efecto de la polarización eléctrica se puede describir rastreando la polarización de dipolos microscópicos a una cantidad vectorial macroscópica, que describe el comportamiento global del material sujeto a la presencia de un campo eléctrico externo. El vector de intensidad de polarización , también llamado vector de polarización eléctrica e indicado con , es el dipolo eléctrico por unidad de volumen que posee el material, definido como el promedio del valor promedio del momento eléctrico de las partículas contenidas en un volumen infinitesimal , se expresa por informe: [2] ${\ matemáticasbf P}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {p}}$ $No.$ $\ nombre del operador dV$

{\ displaystyle \ mathbf {P} = \ lim _ {\ Delta V \ a 0} {\ frac {\ Delta N} {\ Delta V}} \ langle \ mathbf {p} \ rangle = \ lim _ {\ Delta V \ a 0} {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {\ Delta N} {\ mathbf {p} _ {i}}} {\ Delta V}}}

En la definición, el límite se aplica a un volumen que contiene un número significativo de átomos como para poder calcular una propiedad promedio.
La polarización en los dieléctricos se describe mediante una determinada densidad de carga de polarización superficial y volumétrica vinculada al vector de polarización eléctrica mediante: [3] $\sigma_{p}$ $\rho_{p}$

{\ displaystyle \ sigma _ {p} = \ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {n} \ qquad \ rho _ {p} = - \ operatorname {div} \ mathbf {P} = - \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {P}}

donde es el versor normal a la superficie considerada, con la dirección que sale del dieléctrico.

\matemáticas {n}

La polarización del material se manifiesta por tanto a través de la modificación de la distribución de carga asociada a los átomos ya las moléculas que componen el propio material, lo que modifica el campo eléctrico presente en el interior del material.
Introduciendo la densidad de carga de polarización , la primera de las ecuaciones de Maxwell, que expresa la forma local del teorema de flujo para el campo eléctrico, se convierte en: [4] $\rho_{p}$

\ nabla \ cdot {\ mathbf {E}} = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} (\ rho _ {f} + \ rho _ {p}) = {\ frac {1} { \ varepsilon _ {0}}} (\ rho _ {f} - \ nabla \ cdot {\ mathbf {P}})

donde es la densidad de cargas libres y en el segundo paso se ha utilizado la relación entre la densidad volumétrica de la carga de polarización y el vector de polarización. Por lo tanto tenemos: $\ rho _ {f}$

\ nabla \ cdot (\ varepsilon _ {0} {\ mathbf {E}} + {\ mathbf {P}}) = \ rho _ {f}

El argumento del operador diferencial es el vector de inducción eléctrica, definido como: [1]

{\ mathbf {D}} = \ varepsilon _ {0} {\ mathbf {E}} + {\ mathbf {P}}

Y la primera ecuación de Maxwell toma la forma:

\ nabla \ cdot {\ mathbf {D}} = \ rho - \ rho _ {p} = \ rho _ {f}

Definir la divergencia en cada punto no es suficiente para fijar completamente el vector , que no depende solo de las cargas libres sino de la naturaleza y geometría del dieléctrico, de hecho calculando el rotor obtenemos: $\ matematicas {D}$

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {D} = \ nabla \ times \ left (\ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} + \ mathbf {P} \ right) = \ varepsilon _ {0} \ nabla \ veces \ mathbf {E} + \ nabla \ veces \ mathbf {P}}

En electrostática que implica la igualdad entre el rotor de inducción eléctrica y polarización: ${\ estilo de visualización \ nabla \ times \ mathbf {E} = 0}$

{\ estilo de visualización \ nabla \ times \ mathbf {D} = \ nabla \ times \ mathbf {P}}

En general es erróneo pensar que depende únicamente de la carga libre, si así fuera un dieléctrico neutro no podría influir en el campo eléctrico en su vecindad. En realidad, el campo eléctrico está tanto más inclinado hacia la normal a la superficie del dieléctrico cuanto mayor es su permitividad eléctrica , hasta que su comportamiento se parece al de un conductor. $D.$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {r}}$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {r} \ flecha derecha \ infty}$

La mayoría de los materiales aislantes pueden tratarse como un dieléctrico lineal homogéneo e isotrópico, esto significa que existe una relación lineal entre el dipolo inducido en el material y el campo eléctrico externo. Esta es una aproximación ampliamente utilizada, y en este caso los campos y son equivalentes a menos de un factor de escala: [5] $\ matemáticasbf {E}$ $\ matematicas {D}$

{\ mathbf {D}} = \ varepsilon _ {r} \ varepsilon _ {0} {\ mathbf {E}}

y consecuentemente:

{\ mathbf {P}} = (\ varepsilon _ {r} -1) \ varepsilon _ {0} {\ mathbf {E}} = \ varepsilon _ {{0}} \ chi {\ mathbf {E}},

La magnitud es la permitividad eléctrica relativa , y depende de las características microscópicas del material, mientras que se denomina susceptibilidad eléctrica . $\varepsilon_r$ $\quién$

La permitividad eléctrica puede medirse empíricamente y, a partir de los años setenta , también se calcula con la ayuda de calculadoras electrónicas. Si el material no es homogéneo, lineal e isotrópico, entonces depende de factores como la posición dentro del medio, la temperatura o la frecuencia del campo aplicado. En particular, si el material es homogéneo y anisótropo la constante dieléctrica se convierte en una matriz, si no es homogéneo los coeficientes de la matriz son función de la posición, y si no es lineal la constante dieléctrica depende del campo eléctrico, y en general también en el tiempo. $\ varepsilon$

En el dominio de la frecuencia, para un medio lineal e independiente del tiempo existe la relación:

\mathbf{D (\nu)} = \varepsilon (\nu) \mathbf{E} (\nu)

donde es la frecuencia del campo. El vector de polarización para un medio no lineal, ni homogéneo ni isotrópico, a su vez depende del campo a través del tensor de polarización. $\nu$

Ecuaciones de Maxwell

Insertando el vector de inducción eléctrica en las ecuaciones de Maxwell en materiales, considerando el caso en que el dieléctrico es perfecto e isótropo y asumiendo que también existe una relación de linealidad para el campo magnético en materiales, tenemos: [6]

\ nabla \ cdot {\ mathbf {D}} = \ rho

\ nabla \ cdot {\ mathbf {B}} = 0

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {\ mathbf {E}} = - {\ frac {\ parcial \ mathbf {B}} {\ parcial t}}}

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {\ mathbf {H}} = \ mathbf {J} + {\ frac {\ parcial \ mathbf {D}} {\ parcial t}}}

donde es el campo magnético en los materiales, y constituye el análogo del vector de inducción eléctrica para la polarización magnética . $\ matemáticasbf {H}$

Dispersión y causalidad

En un dieléctrico perfecto para describir la formación de un dipolo eléctrico se supone que las cargas , compuestas por electrones o iones de masa , están unidas a los átomos a través de una fuerza de tipo armónico con frecuencia de oscilación alrededor del punto de equilibrio. Si, por el contrario, consideramos un dieléctrico no ideal y un campo eléctrico oscilante, es decir, dependiente del tiempo mediante un factor , la ecuación de movimiento de las cargas debe modificarse para tener en cuenta los efectos de amortiguamiento, que son generalmente proporcionales a la velocidad por medio de una constante de amortiguamiento . La ecuación de movimiento resulta tener la forma: [7] $Y$ $metro$ $\ matemáticasbf F$ $\ omega _ {0}$ $\ matemáticasbf E (\ matemáticasbf x, t)$ $e^{i\omega t}$ $\rango$

m [\ ddot \ mathbf x + \ gamma \ dot \ mathbf x + \ omega_0 ^ 2 \ mathbf x] = - e \ mathbf E (\ mathbf x, t)

Gracias a la dependencia del campo se puede plantear . Insertando las derivadas de en la ecuación de movimiento obtenemos: $e^{i\omega t}$ $\mathbf x = \mathbf x_0 e^{i\omega t}$ $\matemáticas x$

{\ estilo de visualización \ mathbf {x} = {\ frac {e} {m (\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega ^ {2} -i \ omega \ gamma)}} \ mathbf {E} \ qquad\mathbf {p} = -e\mathbf {x}}

Además, la polarización de un material en respuesta a un campo eléctrico generalmente no es instantánea. El hecho de que la permitividad eléctrica dependa de la frecuencia implica de hecho que la relación entre los campos y , dada por: $\ matemáticasbf E$ $\ matemáticasbf D$

\mathbf D (\mathbf x, \omega) = \varepsilon (\omega) \mathbf E (\mathbf x, \omega)

es temporalmente no local. Considerando la representación por medio de la transformada de Fourier :

\ mathbf D (\ mathbf x, t) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathbf D (\ mathbf x, \ omega) e ^ {-i \ omega t} d \ omega \ qquad \ mathbf D (\ mathbf x, \ omega) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty}\mathbf D (\mathbf x, t') e^{i\omega t'} d t'

e insertándolo en la relación anterior junto con la representación análoga de Fourier para obtenemos, suponiendo que podemos invertir el orden de integración: [8] $\ matemáticasbf E$

\mathbf D (\mathbf x, t) = \varepsilon_0 \left [\mathbf E (\mathbf x, t) + \int_{-\infty}^{\infty}\chi(t')\mathbf E( \mathbf x, tt') dt'\derecha]

donde es la transformada de Fourier de : $\ chi (t')$ $\ chi (\ omega)$

\ chi (t ') = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ chi (\ omega) e ^ {- i \ omega t'} d \ omega = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left (\ frac {\ varepsilon (\ omega)} {\ varepsilon_0} -1 \ right) y ^ {- i \ omega t '} d \ omega

Los campos y son por tanto una función de en dos tiempos diferentes, ya que el campo que se manifiesta en el material en el tiempo siguiente a la polarización atómica y molecular depende del campo externo en un instante de tiempo diferente. $\ matemáticasbf D$ $\ matemáticasbf E$ $t$ $t$ $\ matemáticasbf E$

Considere un modelo de permitividad eléctrica en el que solo hay una frecuencia resonante. En este contexto tenemos:

\frac {\ varepsilon (\omega)} {\ varepsilon_0} = 1 + \chi_e = 1 + \frac {\ omega_p^2} {\ omega_0^2 - \omega^2 - yo\omega_j\gamma}

En este caso, la transformada de susceptibilidad eléctrica toma la forma: [9]

{\ estilo de visualización \ chi (t ') = {\ frac {\ omega _ {p} ^ {2}} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {-i\omega t'}} {\ omega_{0}^{2}-\omega^{2}-i\omega_{j}\gamma}} d\omega=\omega_{p}^ {2} e ^ {- {\ frac {\ gamma t '} {2}}} {\ frac {\ sin (\ nu _ {0} t')} {\ nu _ {0}}} \ theta ( t')\qquad\nu_{0}^{2}=\omega_{0}^{2}-{\frac{\gamma^{2}}{4}}}

donde está la función escalón . La función oscila con un amortiguamiento dado por el término exponencial, en el que aparece la constante de amortiguamiento de la fuerza armónica que actúa sobre las cargas. La presencia de la función escalón garantiza el cumplimiento del principio de causalidad, ya que cancela para tiempos negativos. De esta forma llegamos a la expresión más general que une los campos y en un medio uniforme e isótropo: [10] $\ theta (t')$ $\ chi (t')$ $\ chi (t')$ $\ matemáticasbf D$ $\ matemáticasbf E$

\mathbf D (\mathbf x, t) = \varepsilon_0 \left [\mathbf E (\mathbf x, t) + \int_ {0}^{\infty} \chi (t') \mathbf E (\mathbf x , tt ') dt' \ derecha]

donde se produce la integración a partir de . Es una relación causal, espacialmente local y lineal. $t'= 0$

Notas

^ a b Mencuccini, Silvestrini , página 142 .
^ Mencuccini, Silvestrini , página 134 .
^ Mencuccini, Silvestrini , página 137 .
^ Mencuccini, Silvestrini , página 141 .
^ Mencuccini, Silvestrini , página 143 .
^ Mencuccini, Silvestrini , página 458 .
^ Jackson , página 309 .
^ Jackson , página 330 .
^ Jackson , página 331 .
^ Jackson , página 332 .

Bibliografía

Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Física II , Nápoles, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2 .
( EN ) John D Jackson, Electrodinámica clásica , 3ª edición, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .
Tipler, Paul (1998). Física para científicos e ingenieros: Vol. 2: Electricidad y magnetismo, luz (4.ª ed.). WH Freeman. ISBN 1-57259-492-6
Serway, Raymond; Jewett, John (2003). Física para científicos e ingenieros (6 ed.). Brooks Cole. ISBN 0-534-40842-7
Saslow, Wayne M. (2002). Electricidad, Magnetismo y Luz . Aprendizaje Thomson. ISBN 0-12-619455-6 . Véase el Capítulo 8, y especialmente las págs. 255–259 para coeficientes de potencial.