Campo electromagnetico

En física, el campo electromagnético es el campo que describe la interacción electromagnética . Consiste en la combinación del campo eléctrico y el campo magnético y se genera localmente por cualquier distribución de carga eléctrica y corriente eléctrica variable en el tiempo, propagándose en el espacio en forma de ondas electromagnéticas . [1]

En electrodinámica clásica se describe como un campo tensorial ; en la electrodinámica cuántica la interacción se ve como el intercambio de partículas con masa cero, los fotones .

Características generales

El campo electromagnético interactúa en el espacio con las cargas eléctricas y puede manifestarse incluso en ausencia de ellas, siendo una entidad física que puede definirse independientemente de las fuentes que lo generaron. En ausencia de fuentes, el campo electromagnético se denomina "radiación electromagnética" u "onda electromagnética", [2] siendo un fenómeno ondulatorio que no requiere ningún soporte material para propagarse en el espacio y que viaja a la velocidad de la luz en el vacío . Según el modelo estándar , el cuanto de radiación electromagnética es el fotón , mediador de la interacción electromagnética. El campo eléctrico y el campo magnético se suelen describir con vectores en un espacio tridimensional: el campo eléctrico es un campo de fuerza conservativo generado en el espacio por la presencia de cargas eléctricas estacionarias, mientras que el campo magnético es un campo vectorial no conservativo generado por cargas en movimiento. $\ matemáticasbf E$ $\ matemáticasbf B$

Las ecuaciones de Maxwell junto con la fuerza de Lorentz caracterizan las propiedades del campo electromagnético y su interacción con objetos cargados. Las dos primeras ecuaciones de Maxwell son homogéneas y se cumplen tanto en el vacío como en medios materiales:

\ nabla \ times \ mathbf {E} = - \ frac {\ parcial \ mathbf {B}} {\ parcial t} \ qquad \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0

Representan en forma diferencial, válida localmente, la Ley de Faraday y la Ley de Gauss para el campo magnético. Las otras dos ecuaciones describen cómo el material en el que se produce la propagación interactúa, polarizándose, con los campos eléctrico y magnético, que en la materia se denotan por (conocido como campo de inducción eléctrica ) y (conocido como campo de magnetización). Muestran en forma local la ley eléctrica de Gauss y la ley de Ampère-Maxwell : $\ matemáticasbf D$ $\ matemáticasbf H$

\ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho \ qquad \ nabla \ times \ mathbf {H} = \ mathbf J + \ frac {\ parcial \ mathbf {D}} {\ parcial t} \

donde la densidad de carga y la densidad de corriente se denominan fuentes de campo . $\rho$ $\ matemáticasbf J$

La fuerza de Lorentz es la fuerza que genera el campo electromagnético sobre una carga puntual: $\ matemáticasbf {F}$ $q$

{\ matemáticasbf {F}} = q ({\ matemáticasbf {E}} + {\ matemáticasbf {v}} \ times {\ matemáticasbf {B}})

donde es la velocidad de la carga. $\ matemáticasbf {v}$

La introducción de un campo, en particular de un campo de fuerza , es una forma de describir la interacción mutua entre cargas, que en el vacío se produce a la velocidad de la luz . En la teoría clásica del electromagnetismo esta interacción se considera instantánea, ya que la velocidad de la luz es de aproximadamente 300000 kilómetros por segundo, mientras que en el tratamiento relativista se tiene en cuenta que esta velocidad es finita y la fuerza entre cargas se produce después de un tiempo determinado: en este contexto, es correcto afirmar que una carga interactúa solo con el campo y este interactúa solo posteriormente sobre una posible segunda carga colocada cerca. [3]

En este contexto, el campo electromagnético es descrito por la teoría de la electrodinámica clásica en forma covariante , es decir, invariante bajo la transformación de Lorentz , y representado por el tensor electromagnético , un tensor de dos índices del cual los vectores de campo eléctrico y magnético son componentes particulares.

Finalmente, si consideramos también el papel del espín de las partículas cargadas, entramos en la esfera de competencia de la electrodinámica cuántica , donde se cuantiza el campo electromagnético .

Potencial

La electrodinámica estudia el campo electromagnético, que en el caso más general es generado por una distribución de carga eléctrica y corriente eléctrica , teniendo en cuenta los principios de la teoría de la relatividad , que en la teoría clásica del electromagnetismo se descuidan.

Los efectos generados por el comportamiento dinámico de cargas y corrientes fueron estudiados por Pierre Simon Laplace , Michael Faraday , Heinrich Lenz y muchos otros ya a principios del siglo XIX , sin embargo, un estudio coherente y lógicamente completo de los fenómenos electromagnéticos sólo puede realizarse a partir de de la teoría de la relatividad. La electrodinámica clásica usa el tensor y el formalismo de cuatro vectores para escribir las ecuaciones de Maxwell en forma covariante para las transformaciones de Lorentz , introduciendo un cuatro potencial que extiende los potenciales escalares y vectoriales del caso estacionario: de esta manera se describen cargas y corrientes eléctricas a partir de los cuatro -densidad de corriente vectorial donde la parte temporal de los cuatro vectores viene dada por la densidad de carga, multiplicada por la velocidad de la luz , y la parte espacial por la densidad de corriente eléctrica . $j ^ {\mu}$ $C$

El cuadripotencial que describe el campo electromagnético consta de una parte espacial dada por el potencial vectorial , relativo al campo magnético , y una parte temporal dada por el potencial escalar del campo eléctrico : $A^{{\ mu}}$ $\ matemáticasbf A$ $\ fi$

{\ estilo de visualización A ^ {\ mu} = \ izquierda ({\ frac {\ phi} {c}}, \ mathbf {A} \ derecha) = \ izquierda ({\ frac {\ phi} {c}}, A_ {x}, A_ {y}, A_ {z} \derecha)}

A partir de los cuatro potenciales, los campos se pueden definir de la siguiente manera: [4]

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ mathbf {\ nabla} \ phi - {\ frac {\ parcial \ mathbf {A}} {\ parcial t}} \ qquad \ mathbf {B} = \ mathbf {\ nabla } \ veces \ mathbf {A}}

Al insertar estas expresiones en las ecuaciones de Maxwell, la ley de Faraday y la ley magnética de Gauss se reducen a la identidad, mientras que las dos ecuaciones restantes toman la forma:

{\ estilo de visualización \ nabla ^ {2} \ phi + {\ frac {\ parcial} {\ t parcial}} \ izquierda (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} \ derecha) = - {\ frac { \rho} {\ varepsilon_{0}}}}

{\ estilo de visualización \ izquierda (\ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ mathbf {A}} {\ parcial t^{2}}}\derecha)-\mathbf{\nabla}\izquierda(\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{A}+{\frac{1}{c^{2}}}{ \ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial t}} \ derecho) = - \ mu _ {0} \ mathbf {J}}

Estas expresiones son equivalentes a las ecuaciones de Maxwell. [5]

Teoría de calibre

Dentro de las ecuaciones de Maxwell, cada grado de libertad en una configuración dada del campo electromagnético tiene su propio efecto medible sobre el movimiento de cualquier carga de prueba colocada cerca. Sin embargo, la expresión de los campos permanece invariable si los potenciales sufren la siguiente transformación:

{\ displaystyle \ mathbf {A} '= \ mathbf {A} + \ mathbf {\ nabla} \ lambda \ qquad \ phi' = \ phi - {\ frac {\ parcial \ lambda} {\ parcial t}}}

Las expresiones de los potenciales pueden, por lo tanto, modificarse sin consecuencias de esta manera, de hecho, después de la transformación , el campo permanece sin cambios: ${\ estilo de visualización \ mathbf {A} \ flecha derecha \ mathbf {A} + \ nabla \ lambda}$ $\ matemáticasbf B$

{\ displaystyle {\ mathbf {B}} = \ nabla \ times ({\ mathbf {A}} + \ nabla \ lambda) = \ nabla \ times {\ mathbf {A}}}

siendo nulo el rotor de gradiente, mientras que se modifica de tal forma que: $\ matemáticasbf E$

{\ displaystyle {\ mathbf {E}} = - \ nabla \ phi - {\ frac {\ parcial {\ mathbf {A}}} {\ parcial t}} - \ nabla {\ frac {\ parcial {\ lambda} } {\ t parcial}} = - \ nabla \ izquierda (\ phi + {\ frac {\ parcial {\ lambda}} {\ t parcial}} \ derecha) - {\ frac {\ parcial {\ mathbf {A} }} {\ t parcial}}}

Por lo tanto, si se lleva a cabo la transformación adicional, la derivada de en el argumento del gradiente desaparece y también obtenemos . ${\ estilo de visualización \ phi \ rightarrow \ phi - {\ frac {\ parcial {\ lambda}} {\ parcial t}}}$ $\ lambda$ $\ matemáticasbf E$

Una elección particular de potencial escalar o potencial vectorial es un potencial de calibre , y una función escalar utilizada para cambiar el calibre se llama función de calibre . Esta arbitrariedad, intrínseca a la definición, permite que los potenciales satisfagan una condición adicional, que determina la elección del calibre. Los calibres más utilizados son el calibre de Coulomb y el calibre de Lorenz.

Medidor de Coulomb

El calibre de Coulomb, también llamado calibre transversal o calibre de radiación , se elige de tal manera que: [6]

{\ estilo de visualización \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} = 0}

En términos de ella debe por lo tanto satisfacer la relación: $\ lambda$

{\ estilo de visualización \ nabla ^ {2} \ lambda = - \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A}}

y las ecuaciones de Maxwell en el calibre de Coulomb se escriben de la siguiente manera:

{\ estilo de visualización \ nabla ^ {2} \ phi '= - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}} \ qquad \ nabla ^ {2} \ mathbf {A}' - \ mu _ {0 } \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ mathbf {A} '} {\ parcial t ^ {2}}} = - \ mu _ {0} \ mathbf {J} + \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} \ nabla \ izquierda ({\ frac {\ parcial \ phi '} {\ parcial t}} \ derecha)}

donde notamos que el potencial escalar satisface la ecuación de Poisson , cuya solución es:

{\ estilo de visualización \ phi (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {x} ', t )} {| \mathbf{x} - \mathbf{x}'|}} d^{3}x'}

mientras que la solución para el vector potencial se vuelve más difícil y requiere la descomposición del vector de densidad de corriente en parte transversal y longitudinal.

Calibre Lorenz

La condición impuesta en el calibre de Lorenz se denomina condición de Lorenz y se escribe de la siguiente manera: [5]

{\ estilo de visualización \ parcial _ {\ mu} A ^ {\ mu} = \ nabla \ cdot {\ mathbf {A} '} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial \ phi '} {\ t parcial}} = 0}

Es decir, debe satisfacer la ecuación: $\ lambda$

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ lambda - \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ lambda} {\ parcial t ^ {2}}} = - \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} - \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial t}}}

La condición de Lorenz permite imponer a los potenciales que la satisfacen una restricción adicional, llamada transformación de calibre restringida :

{\ displaystyle \ mathbf {A} '= \ mathbf {A} + \ mathbf {\ nabla} \ lambda \ qquad \ phi' = \ phi - {\ frac {\ parcial \ lambda} {\ parcial t}} \ qquad \ nabla ^ {2} \ lambda - \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ lambda} {\ parcial t ^ {2}}} = 0}

y los potenciales que disfrutan de esta invariancia pertenecen al Ancho de Lorenz.

La condición de Lorenz también permite desacoplar las ecuaciones de Maxwell escritas en términos de potenciales, obteniendo la ecuación de onda:

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} '- \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ mathbf {A}'} {\ parcial t ^ {2}}} = \Box\mathbf {A}'= - \mu_{0}\mathbf {J}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi'- \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ phi'} {\ parcial t ^ {2}}} = \Box\phi'=-{\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}}}

donde está el operador de d'Alembert . La ecuación general a la que obedece el tetrapotencial tiene la forma: $\Caja$

{\ estilo de visualización \ Box A ^ {\ mu} = \ parcial ^ {\ lambda} \ parcial _ {\ lambda} A ^ {\ mu} = - \ mu _ {0} j ^ {\ mu}}

Esta relación es una forma de expresar las ecuaciones de Maxwell en forma covariante. [7] [8] Explicando también el operador diferencial alembertiano tenemos :

{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial ^ {2} UN ^ {\ mu}} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} UN ^ {\ mu}} {\ y parcial ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} A ^ {\ mu}} {\ parcial z ^ {2}}} - {\ frac {1} {c ^ {2}} } {\ frac {\ parcial ^ {2} A ^ {\ mu}} {\ parcial t ^ {2}}} = - \ mu _ {0} j ^ {\ mu}}

donde la cuadridensidad de la corriente es

{\ estilo de visualización j ^ {\ nu} = \ izquierda ({\ rho} {c}, \ mathbf {J} \ derecha) = \ izquierda ({\ rho} {c}, J_ {x}, J_ {y} , J_ {z} \ derecha)}

Por la linealidad de la ecuación, las posibles soluciones para el cuadripotencial son la suma de las posibles soluciones de la ecuación homogénea más una solución particular que no encaja en las anteriores, y que da lugar a la forma de los potenciales retardados .

Covariante Descripción

La descripción covariante del campo electromagnético en el vacío se realiza en el contexto del calibre de Lorenz . La condición de Lorenz garantiza que esta descripción tiene la propiedad de ser invariante de Lorentz , es decir, invariante con respecto a una transformación de Lorentz , y de respetar los grados de libertad proporcionados por las transformaciones de calibre.

Considere una carga en movimiento en un campo electromagnético. De los postulados de la relatividad especial se sigue que la acción de la carga es un escalar de Lorentz , de acuerdo con el principio variacional de Hamilton según el cual se debe verificar que . La acción está dada por: ${\ matemática S}$ ${\ estilo de visualización \ delta {\ matemática {S}} = 0}$

{\ estilo de visualización {\ mathcal {S}} = \ int {\ mathcal {L}} dt = \ int \ gamma {\ mathcal {L}} d \ tau}

donde está el lagrangiano. Por lo tanto, la cantidad debe ser invariable. El Lagrangiano para una partícula libre tiene la forma: [9] ${\ matemática L}$ ${\ estilo de visualización \ gamma {\ matemática {L}}}$ ${\ estilo de visualización {\ mathcal {L}} _ {gratis}}$

{\ estilo de visualización {\ mathcal {L}} _ {gratis} = - mc ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}} = - mc ^ {2} {\ raíz cuadrada {1- \ beta ^ {2}}}}

Esta expresión está motivada por el hecho de que el Lagrangiano no tiene que depender de la posición: la única cantidad invariante posible es entonces , donde es la velocidad de cuatro . De esta forma el Lagrangiano es proporcional a , y de las ecuaciones de Euler-Lagrange se puede verificar que la ecuación de movimiento correspondiente es: [10] ${\ estilo de visualización u _ {\ alfa} u ^ {\ alfa} = c ^ {2}}$ ${\ estilo de visualización u ^ {\ alfa}}$ ${\ estilo de visualización \ gamma ^ {- 1} = {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}$

{\ estilo de visualización {\ frac {d} {dt}} (\ gamma m \ mathbf {u}) = 0}

En presencia de un campo electromagnético, el lagrangiano de interacción para una partícula cargada tiene la forma: ${\ estilo de visualización {\ mathcal {L}} _ {int}}$ $Y$

{\ estilo de visualización {\ mathcal {L}} _ {int} = - {\ frac {e} {\ gamma c}} u _ {\ alpha} A ^ {\ alpha} = - e \ phi + {\ frac { e } {c}} \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {A}}

donde se observa que en el límite no relativista se reduce a la energía potencial de interacción entre la carga y el campo, con la componente temporal del cuadripotencial : la solicitud de invariancia en traslación conduce también a la elección del vector a multiplicarse escalarmente con para obtener una cantidad invariante. [11] Sin embargo, la expresión de la interacción Lagrangiana también está motivada por observaciones experimentales, y puede justificarse imponiendo que se trata de una función cuya derivada de grado máximo es la derivada temporal antes de las coordenadas, que es invariante en traslación y que es lineal con respecto al potencial y la carga. [10] ${\ estilo de visualización y \ phi}$ $\ fi$ $A ^ {\ alfa}$ ${\ estilo de visualización u ^ {\ alfa}}$ $A ^ {\ alfa}$ ${\ estilo de visualización \ gamma {\ mathcal {L}} _ {int}}$

En presencia de un campo, la acción se define así como la integral del Lagrangiano total en el tiempo entre los instantes inicial y final de la evolución del sistema. En notación relativista podemos explotar el intervalo de espacio-tiempo (escalar) , donde es la posición, y como , tenemos: [12] ${\ matemática {S}}$ ${\ estilo de visualización {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} _ {gratis} + {\ mathcal {L}} _ {int}}$ ${\ estilo de visualización ds = {\ raíz cuadrada {x_ {i} x ^ {i}}}}$ $x ^ yo$ ${\ estilo de visualización ds = cd \ tau = cdt / \ gamma}$

{\ estilo de visualización {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} dt = \ int _ {a} ^ {b} \ izquierda (- mcds- {e\sobre c} A_ {i} dx^{i}\derecha)}

con el cuadripotencial . El principio de mínima acción establece que el movimiento de un sistema físico entre dos instantes del espacio de configuración es tal que la acción es estacionaria en correspondencia con la trayectoria del movimiento para pequeñas perturbaciones del mismo, es decir: [13] $Hacia}$

{\ estilo de visualización \ delta {\ mathcal {S}} = \ delta \ int \ izquierda (-mc \, ds- {e \ sobre c} A_ {i} dx ^ {i} \ derecha) = - \ int _ { a} ^ {b} \ izquierda (mc \, {\ frac {dx_ {i} d \ delta x ^ {i}} {ds}} + {e \ over c} A_ {i} d \ delta x ^ { i}+{e\sobre c}\delta A_ {i}dx^{i}\derecha)=0}

Si integras por partes obtienes:

{\ estilo de visualización \ int \ izquierda (mc \, du_ {i} \ delta x ^ {i} + {e \ sobre c} \ delta x ^ {i} dA_ {i} + {e \ sobre c} \ delta A_ {i} dx ^ {i} \ derecha) - \ izquierda (mcu_ {i} + {e \ sobre c} A_ {i} \ derecha) \ delta x ^ {i} | = 0}

con la de cuatro velocidades. Dado que el segundo término es nulo y que: ${\ estilo de visualización u_ {i} = {dx_ {i} \ sobre ds}}$

{\ estilo de visualización \ delta A_ {i} = {\ frac {\ parcial A_ {i}} {\ parcial x ^ {k}}} \ delta x ^ {k} \ qquad dA_ {i} = {\ frac {\ parcial A_ {i}} {\ parcial x ^ {k}}} dx ^ {k}}

tenemos:

{\ estilo de visualización \ int \ izquierda (mc \, du_ {i} \ delta x ^ {i} + {e \ over c} \ delta x ^ {i} {\ frac {\ parcial A_ {i}} {\ parcial x ^ {k}}} dx ^ {k} + {e \ sobre c} {\ frac {\ parcial A_ {i}} {\ parcial x ^ {k}}} \ delta x ^ {k} dx ^ { i}\derecha) =\izquierda [mc {du_ {i}\sobre ds} - {e\sobre c}\izquierda ({\ frac {\ parcial A_ {k}} {\ parcial x ^ {i}}} - {\ frac {\ parcial A_ {i}} {\ parcial x ^ {k}}} \ derecho) u ^ {k} \ derecho] \ delta x ^ {i} ds = 0}

donde en el segundo paso se explotó el hecho de que y . Mediante la colocación de: ${\ estilo de visualización du_ {i} = (du_ {i} / ds) ds}$ ${\ estilo de visualización dx ^ {i} = du ^ {i} ds}$

{\ displaystyle F_ {ik} \ equiv {\ frac {\ parcial A_ {k}} {\ parcial x ^ {i}}} - {\ frac {\ parcial A_ {i}} {\ parcial x ^ {k} }}}

tenemos:

{\ estilo de visualización mc {du_ {i} \ sobre ds} - {e \ sobre c} F_ {ik} u_ {k} = 0}

que es la ecuación de movimiento de una partícula cargada en un campo electromagnético. [14]

Ecuación de movimiento

Usando los cuatro pulsos , la ecuación de movimiento se puede escribir de la siguiente manera: ${\ estilo de visualización p ^ {\ alfa} = mu ^ {\ alfa}}$

{\ estilo de visualización {\ frac {dp ^ {\ alfa}} {d \ tau}} = eu _ {\ beta} F ^ {\ alfa \ beta}}

donde es el pulso de cuatro y es el propio tiempo de la partícula . El tensor es el tensor electromagnético contravariante y es la velocidad de cuatro de la partícula. La ecuación también se puede escribir como: [15] ${\ estilo de visualización p ^ {\ alfa}}$ $\tau$ ${\ estilo de visualización F ^ {\ alfa \ beta}}$ $tu$

{\ estilo de visualización {\ frac {du ^ {\ alfa}} {d \ tau}} = {\ frac {e} {mc}} F ^ {\ alfa \ beta} u _ {\ beta}}

Agrupando las tres ecuaciones espaciales tenemos, explícitamente: [16]

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {p}} {d \ tau}} = e \ gamma \ izquierda (\ mathbf {E} + \ mathbf {u} \ times \ mathbf {B} \ derecha) \ qquad {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} = e \ izquierda (\ mathbf {E} + {\ frac {\ mathbf {u}} {c}} \ times \ mathbf {B} \ derecha) \ qquad \ gamma = \ izquierda ({\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}} \ derecha) ^ {- 1}}

mientras que para el componente de tiempo:

{\ estilo de visualización {\ frac {dE} {dt}} = e \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {E}}

Estas relaciones son las ecuaciones de movimiento de una carga en un campo electromagnético.

Tensor electromagnético

El tensor de doble campo electromagnético es un tensor antisimétrico covariante de segundo orden , y su traza es nula: [17] $F^{{\mu\nu}}$

F ^ {{\ mu \ nu}} = {\ comenzar {pmatrix} 0 & -E_ {x} / c & -E_ {y} / c & -E_ {z} / c \\ E_ {x} / c & 0 & -B_ { z} & B_ {y} \\ E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} & 0 \ final {pmatrix}}

Una forma diferente de representar el campo a través de un tensor antisimétrico la proporciona el tensor electromagnético dual , dado por:

{\ estilo de visualización G ^ {\ mu \ nu} = {\ comenzar {pmatrix} 0 & -B_ {x} & - B_ {y} & - B_ {z} \\ B_ {x} & 0 & E_ {z} / c & -E_ {y} / c \\ B_ {y} & - E_ {z} / c & 0 & E_ {x} / c \\ B_ {z} & E_ {y} / c & -E_ { x} / c & 0 \ fin {pmatrix}}}

El tensor electromagnético tiene la propiedad:

{\ estilo de visualización \ det \ izquierda (F \ derecha) = \ izquierda ({\ frac {\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {E}} {c}} \ derecha) ^ {2}}

Usando esta notación, las ecuaciones de Maxwell se pueden resumir en pares . Las dos ecuaciones vectoriales no homogéneas se reducen a:

\ parcial _ {\ mu} F ^ {{\ mu \ nu}} = {\ frac {4 \ pi} {c}} j ^ {\ nu}

mientras que las ecuaciones homogéneas son:

\ parcial _ {\ mu} GRAMO ^ {{\ mu \ nu}} = 0

Equivalentemente:

{\ estilo de visualización \ parcial _ {\ mu} F ^ {\ mu \ nu} = {\ frac {4 \ pi} {c}} j ^ {\ nu} \ qquad \ parcial _ {\ gamma} F _ {\ alfa \ beta} + \ parcial _ {\ alfa} F _ {\ beta \ gamma} + \ parcial _ {\ beta} F _ {\ gamma \ alfa} = 0}

donde la primera expresión deriva de la ecuación de Euler-Lagrange y la síntesis de la ley eléctrica de Gauss y la ley de Ampère-Maxwell , mientras que la segunda es la síntesis de la ley magnética de Gauss y la ley de Faraday-Neumann-Lenz .

Fuentes variables en el tiempo

Los potenciales retardados describen los potenciales en el caso en que la distribución de carga y corriente presente, la fuente del campo, es variable en el tiempo. Estas son las expresiones de los potenciales utilizados cuando no es posible utilizar la aproximación según la cual la propagación de la interacción electromagnética es instantánea. Suponiendo que estamos en el vacío, en el calibre de Lorenz los potenciales retardados toman la forma: [18]

{\ estilo de visualización \ phi (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {x} _ {0 }, t_ {r})} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0} |}} d ^ {3} x_ {0}}

{\ mathbf A} ({\ mathbf x}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} c ^ {2}}} \ int {\ frac {{\ mathbf J} ( {\ mathbf x} _ {0}, t_ {r})} {| {\ mathbf x} - {\ mathbf x} _ {0} |}} d ^ {3} x_ {0}

donde es la densidad de carga , es la densidad de corriente , la distancia del punto de observación del campo al elemento de volumen sobre el que se realiza la integración y: $\rho$ $\ matemáticasbf J$ $|\mathbf x - \mathbf x_0 |$ $dV$

t_r = t- \ frac {| \ mathbf x - \ mathbf x_0 |} {c}

es el tiempo retrasado.

Los potenciales retardados son la solución de la ecuación de onda para los potenciales:

{\ estilo de visualización \ quad \ nabla ^ {2} \ phi - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ phi} {\ parcial t ^ {2}} } = - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon_ {0}}}}

\ quad \ nabla ^ {2} {\ mathbf A} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} {\ mathbf A}} {\ parcial t ^ { 2}}} = - \ mu _ {0} {\ matemáticasbf J}

Una vez determinados los potenciales y la distribución de cargas y corrientes en el espacio, es posible expresar el campo eléctrico y el campo magnético mediante las fórmulas: $\ fi$ $\ matemáticasbf A$

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla \ phi - {\ frac {\ parcial \ mathbf {A}} {\ parcial t}} \ qquad \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A} }

Esto le permite escribir la ecuación de onda para campos en el vacío:

\ quad \ nabla ^ {2} {\ mathbf {E}} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} {\ mathbf {E}}} {\ t parcial ^ {2}}} = - {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ izquierda (- \ nabla \ rho - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial {\ mathbf {J}}} {\ parcial t}} \ derecha)

\ quad \ nabla ^ {2} {\ mathbf {B}} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} {\ mathbf {B}}} {\ parcial t^{2}}}=-\mu_{0}\nabla\times{\mathbf{J}}

La solución de tiempo retrasado proporciona la expresión preliminar para los campos: [19]

{\ mathbf {E}} ({\ mathbf {x}}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {1} {| {\ mathbf x} - {\ mathbf x} _ {0} |}} \ izquierda [- \ nabla '\ rho - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial {\ mathbf {J }}} {\ t parcial}} \ right] _ {{t = t_ {r}}} d ^ {3} x '

{\ mathbf {B}} ({\ mathbf {x}}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int {\ frac {1} {| {\ mathbf x } - {\ mathbf x} _ {0} |}} \ izquierda [\ nabla '\ times {\ mathbf {J}} \ derecha] _ {{t = t_ {r}}} d ^ {3} x'

cuya escritura explícita la proporcionan las ecuaciones de Jefimenko : [20]

{\ estilo de visualización \ mathbf {E} (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int \ izquierda [\ izquierda ({\ frac {\ rho (\ mathbf {x} _ {0}, t_ {r})} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0} | ^ {3}}} + {\ frac {1} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0} | ^ {2} c}} {\ frac {\ parcial \ rho (\ mathbf {x} _ {0}, t_ {r})} {\ t parcial}} \ right) (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0}) - {\ frac {1} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0} | c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial \ mathbf {J} (\ mathbf {x} _ {0}, t_ {r})} {\ parcial t}} \ right] \ mathrm {d} ^ { 3}x}

{\ estilo de visualización \ mathbf {B} (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int \ izquierda [{\ frac {\ mathbf {J} ( \ mathbf {x} _ {0}, t_ {r})} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0} | ^ {3}}} + {\ frac {1} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0} | ^ {2} c}} {\ frac {\ parcial \ mathbf {J} (\ mathbf {x} _ {0}, t_ {r})} {\ t parcial}} \ right] \ times (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0}) \ mathrm {d} ^ {3} x}

donde es un punto dentro de la distribución de carga y es un punto en el espacio. Las expresiones para campos en materia y tienen la misma forma. [21] . $\ matemáticasbf {x} _0$ $\ matemáticasbf {x}$ $\ matematicas {D}$ $\ matemáticasbf {H}$

Potenciales de Liénard-Wiechert

Los potenciales de Liénard-Wiechert describen el campo electromagnético generado por una carga en movimiento a partir de los potenciales de campo . Construidos directamente a partir de las ecuaciones de Maxwell , los potenciales proporcionan una caracterización general y relativista del campo variable en el tiempo generado por una carga en movimiento.

El potencial electromagnético generado en el punto por una fuente puntual de carga en movimiento está dado por: [22] ${\ estilo de visualización A ^ {\ alfa} (x) = (\ varphi, \ mathbf {A})}$ $x = (x_0, \mathbf{x})$ $Y$

{\ estilo de visualización A ^ {\ alfa} (x) = {\ frac {eV ^ {\ alfa} (\ tau = \ tau _ {0})} {V \ cdot [xr (\ tau = \ tau _ {0 })]}} \ qquad x_ {0}> r_ {0} (\ tau _ {0})}

donde está la velocidad de la carga, su posición y tiempo propio . En la ecuación, la velocidad y la posición se evalúan a lo largo del tiempo , que se define por la condición del cono de luz . Esta condición implica que: ${\ estilo de visualización V ^ {\ alfa} (\ tau) = {\ gamma} (c, \ mathbf {v} _ {s})}$ ${\ estilo de visualización r ^ {\ alfa} (\ tau) = (r_ {0}, \ mathbf {r} _ {s})}$ $\tau$ $\ tau_0$

{\ estilo de visualización x_ {0} -r_ {0} (\ tau _ {0}) = | \ mathbf {x} - \ mathbf {r} _ {s} (\ tau _ {0}) |}

y por lo tanto le permite escribir:

{\ estilo de visualización V \ cdot (xr) = \ gamma c (x_ {0} -r_ {0} (\ tau _ {0})) - \ mathbf {v} _ {s} \ cdot (\ mathbf {x} - \mathbf{r}_{s} (\tau_{0})) = \gamma c | \mathbf{x} - \mathbf{r}_{s} (\tau_{0}) | (1 -\mathbf{\beta}\cdot\mathbf{n})}

con vector unitario que tiene la dirección de . De esta forma, se obtiene una forma equivalente, pero no covariante, del potencial eléctrico y del potencial magnético generado por una fuente puntual de carga en movimiento: [23] $\matemáticas {n}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {x} - \ mathbf {r} _ {s} (\ tau)}$ $\varfi$ $\ matemáticasbf {A}$

{\ estilo de visualización \ varphi (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ izquierda ({\ frac {e} {(1- \ mathbf {n } \ cdot \ mathbf {\ beta}) | \ mathbf {x} - \ mathbf {r} _ {s} (\ tau) |}} \ right) _ {\ tau = \ tau _ {0}} \ qquad \mathbf{A} (\mathbf{x}, t) = {\frac{\mu_{0}c}{4\pi}}\izquierda({\frac{e\mathbf{\beta}}{( 1- \mathbf{n}\cdot\mathbf{\beta}) | \mathbf{x}-\mathbf{r}_{s} (\tau) |}}\right)_{\tau=\tau_ {0}} = {\ frac {\ mathbf {\ beta} (\ tau = \ tau _ {0})} {c}} \ varphi (\ mathbf {x}, t)}

A partir de los potenciales es posible derivar las expresiones de los campos a partir de su definición, obteniendo para el campo eléctrico:

{\ estilo de visualización \ mathbf {E} (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ izquierda ({\ frac {q (\ mathbf {n} - \mathbf {\ beta})} {\ gamma ^ {2} (1- \mathbf {n} \cdot \mathbf {\ beta}) ^ {3} | \mathbf {x} - \mathbf {r}_ {s} (\ tau) | ^ {2}}} + {\ frac {q \ mathbf {n} \ times {\ big (} (\ mathbf {n} - \ mathbf {\ beta}) \ times {\ punto {\ mathbf {\ beta}}} {\ grande)}} {c (1- \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {\ beta}) ^ {3} | \ mathbf {x} - \ mathbf {r } _ {s} (\ tau) |}} \ derecho) _ {\ tau = \ tau _ {0}}}

y para el campo magnético: [24]

{\ estilo de visualización \ mathbf {B} (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ izquierda ({\ frac {qc (\ mathbf {\ beta} \ times \ mathbf {n})} {\ gamma ^ {2} (1- \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {\ beta}) ^ {3} | \ mathbf {x} - \ mathbf {r} _ {s} (\ tau) | ^ {2}}} + {\ frac {q \ mathbf {n} \ times {\ Big (} \ mathbf {n} \ times {\ big (} (\ mathbf {n} - \ mathbf {\ beta}) \ times {\ dot {\ mathbf {\ beta}}} {\ big)} {\ Big)}} {(1- \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {\ beta} ) ^ {3} | \ mathbf {x} - \ mathbf {r} _ {s} (\ tau) |}} \ right) _ {\ tau = \ tau _ {0}} = {\ frac {\ mathbf {n} (\ tau = \ tau _ {0})} {c}} \ times \ mathbf {E} (\ mathbf {x}, t)}

con:

{\ estilo de visualización \ mathbf {\ beta} (t) = {\ frac {\ mathbf {v} _ {s} (t)} {c}} \ qquad \ mathbf {n} (t) = {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} (t)} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} (t) |}} \ qquad \ gamma (t) = { \ frac {1} {\ sqrt {1- | \ mathbf {\ beta} (t) | ^ {2}}}}}

donde es el factor de Lorentz . el término en la expresión del campo eléctrico impone que la dirección del primer término del campo sea a lo largo de la unión con la posición de la carga, mientras que el segundo término, debido a la aceleración de la carga, sea perpendicular a . $\rango$ $\mathbf{n} - \mathbf{\beta}$ $\mathbf{n} - \mathbf{\beta}$

La expresión de los campos viene dada por la suma de dos contribuciones: la primera se llama campo de Coulomb generalizado y decrece como el recíproco del cuadrado de la distancia a la carga, la segunda se llama campo de radiación y decrece como el recíproco de la distancia desde la fuente, y por lo tanto es dominante lejos de la carga. En ambos casos, el campo de Coulomb generalizado es relativo a la velocidad de la carga, mientras que el campo de radiación es generado por la aceleración.

Ecuación de Larmor

Si se desprecia el campo de Coulomb generalizado, la componente radial del vector de Poynting , resultante de la expresión de los campos de Liénard-Wiechert, viene dada por: [25]

[\mathbf{S\cdot}\hat {\mathbf{n}}]_{\tau=\tau_0}=\frac{q^2}{16\pi^2\varepsilon_0 c}\left\{\frac {1} {R^2} \ izquierda | \ frac {\ hat {\ mathbf {n}} \ times [(\ hat {\ mathbf {n}} - \ vec {\ beta}) \ times \ dot {\ vec {\ beta}}]} {(1- \ vec {\ beta} \ mathbf {\ cdot} \ hat {\ mathbf {n}}) ^ 3} \ right | ^ 2 \ right \}

donde el segundo miembro, a diferencia del primero, no se evalúa en el tiempo retrasado.

La relación espacial entre y determina la distribución de potencia angular, y el factor en el denominador muestra la presencia de efectos relativistas en la transición del marco de reposo de la partícula al marco del observador. $\ vec {\ beta}$ $\ punto {\ vec {\ beta}}$ $(1- \ vec {\ beta} \ mathbf {\ cdot} \ vec {\ mathbf {n}})$

La energía radiada por ángulo sólido durante una aceleración entre instantes y viene dada por: $t'= T_1$ $t'= T_2$

{\ estilo de visualización {\ frac {\ mathrm {d} P} {\ mathrm {d} {\ mathit {\ Omega}}}} = {\ frac {q ^ {2}} {16 \ pi ^ {2} \ varepsilon _ {0} c}} \, {\ frac {| {\ hat {\ mathbf {n}}} (t ') \ times \ {[{\ hat {\ mathbf {n}}} (t') - {\ vec {\ beta}} (t')] \ times {\ punto {\ vec {\ beta}}} (t') \} | ^ {2}} {[1 - {\ vec {\ beta }} (t ') \ mathbf {\ cdot} {\ vec {\ mathbf {n}}} (t')] ^ {5}}}}

Integrando esta expresión sobre todo el ángulo sólido obtenemos la generalización relativista de la fórmula de Larmor: [26]

{\ estilo de visualización P = {\ frac {e ^ {2}} {6 \ pi \ varepsilon _ {0} c}} \ gamma ^ {6} \ izquierda [\ izquierda | {\ punto {\ vec {\ beta} }} \ derecha | ^ {2} - \ izquierda | {\ vec {\ beta}} \ times {\ punto {\ vec {\ beta}}} \ derecha | \ derecha]}

En el límite relativista para velocidades cercanas a la velocidad de la luz , donde , la distribución angular se puede escribir aproximadamente como: [27] $\ gama >> 1$

{\ estilo de visualización {\ frac {\ mathrm {d} P} {\ mathrm {d} {\ mathit {\ Omega}}}} \ simeq {\ frac {2} {\ pi}} {\ frac {e ^ { 2}} {c ^ {3}}} \ gamma ^ {6} {\ frac {| {\ punto {\ mathbf {v}}} | ^ {2}} {(1+ \ gamma ^ {2} \ theta ^ {2}) ^ {3}}} \ izquierda [1 - {\ frac {4 \ gamma ^ {2} \ theta ^ {2} \ cos ^ {2} \ phi} {(1+ \ gamma ^ {2}\theta^{2})^{2}}}\derecha]}

donde los factores en el denominador estrechan la distribución angular en un haz de luz cónico y más y más estrecho a medida que aumenta la velocidad, distribuidos en un pequeño ángulo alrededor de . $(1-\beta\cos\theta)$ $\ theta = 0$

Transformaciones de campo entre sistemas de referencia inercial

Considere dos sistemas de referencia inerciales que se mueven con velocidad relativa constante entre sí. Las componentes del campo paralelas a la velocidad se denotan con y , mientras que las perpendiculares con y . Considerando uno de los dos marcos de referencia inmóvil, las variables primates denotan los campos en el otro sistema, en movimiento: [28] $\ matemáticasbf v$ ${\ estilo de visualización {\ stackrel {\ mathbf {E} _ {\ paralelo}} {}}}$ ${\ estilo de visualización {\ stackrel {\ mathbf {B} _ {\ paralelo}} {}}}$ ${\ estilo de visualización {\ stackrel {\ mathbf {E} _ {\ bot}} {}}}$ ${\ estilo de visualización {\ stackrel {\ mathbf {B} _ {\ bot}} {}}}$

{\ estilo de visualización \ mathbf {{E} _ {\ paralelo}} '= \ mathbf {{E} _ {\ paralelo}} \ qquad \ mathbf {{B} _ {\ paralelo}}' = \ mathbf {{B } _ {\ paralela}}}

{\ displaystyle \ mathbf {{E} _ {\ bot}} '= \ gamma \ left (\ mathbf {E} _ {\ bot} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right) \ qquad \mathbf {{B} _ {\ bot}} '= \gamma \izquierda (\mathbf {B} _ {\ bot} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \mathbf {v}\ veces \mathbf {E}\derecha)}

Dónde está:

{\ estilo de visualización \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1-v ^ {2} / {c} ^ {2}}}}}

es el factor de Lorentz y la velocidad de la luz . La transformación inversa se obtiene cambiando el signo de la velocidad. $C$

De manera equivalente, podemos escribir: [29]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & \ mathbf {E} '= \ gamma \ left (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right) - \ left ({\ gamma -1} \ right) (\ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}) \ mathbf {\ hat {v}} \\ & \ mathbf {B} '= \ gamma \ left (\ mathbf {B} - {\ frac {\ mathbf {v} \ times \ mathbf {E}} {c ^ {2}}} \ derecha) - \ izquierda ({\ gamma -1} \ derecha) (\ mathbf {B } \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}) \ mathbf {\ hat {v}} \\\ end {alineado}}}

donde es un vector unitario directo como la velocidad. ${\ estilo de visualización \ mathbf {\ sombrero {v}}}$

Dada una partícula cargada que se mueve con velocidad respecto al sistema estacionario, la fuerza de Lorentz que actúa sobre ella es: $q$ $\ matemáticasbf {u}$

{\ estilo de visualización \ mathbf {F} = q \ mathbf {E} + q \ mathbf {u} \ times \ mathbf {B}}

mientras está en el sistema en ejecución:

{\ estilo de visualización \ mathbf {F '} = q \ mathbf {E'} + q \ mathbf {u '} \ times \ mathbf {B'}}

Si los dos sistemas tienen los tres ejes respectivamente paralelos, entonces: [30]

{\ estilo de visualización u_ {x} '= {\ frac {u_ {x} + v} {1+ (v \ u_ {x}) / c ^ {2}}} \ qquad u_ {y}' = {\ frac {u_ {y} / \ gamma} {1+ (v \ u_ {x}) / c ^ {2}}} \ qquad u_ {z} '= {\ frac {u_ {z} / \ gamma} {1 + (v\u_{x})/c^{2}}}}

Para un movimiento relativo entre los dos sistemas a lo largo del eje de abscisas, obtenemos:

{\ estilo de visualización {\ comenzar {alineado} & \ estilo de visualización E '_ {x} = E_ {x} \\ & E' _ {y} = \ gamma \ izquierda (E_ {y} -vB_ {z} \ derecha) \ \ & E ​​'_ {z} = \ gamma \ left (E_ {z} + vB_ {y} \ right) \\\ end {alineado}} \ quad {\ begin {alineado} & \ displaystyle B' _ {x} = B_ {x} \\ & B '_ {y} = \ gamma \ izquierda (B_ {y} + {\ frac {v} {c ^ {2}}} E_ {z} \ derecha) \\ & B'_ {z} = \ gamma \ izquierda (B_ {z} - {\ frac {v} {c ^ {2}}} E_ {y} \ derecha) \ final {alineada}}}

En unidades CGS : [31]

{\ estilo de visualización {\ comenzar {alineado} & \ estilo de visualización E '_ {x} = E_ {x} \\ & E' _ {y} = \ gamma \ izquierda (E_ {y} - \ beta B_ {z} \ right ) \\ & E ​​'_ {z} = \ gamma \ left (E_ {z} + \ beta B_ {y} \ right) \\\ end {alineado}} \ quad {\ begin {alineado} & \displaystyle B' _ {x} = B_ {x} \\ & B '_ {y} = \gamma \ izquierda (B_ {y} + \beta E_ {z} \derecha) \\ & B' _ {z } = \gamma \izquierda (B_ {z} - \beta E_ {y} \derecha)\fin {alineada}}}

donde _ ${\ estilo de visualización \ beta \ {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \ v / c}$

Considerando transformaciones de Lorentz más generales, se puede recurrir al formalismo tensorial. Dicho el tensor electromagnético en el sistema estacionario, el del sistema de referencia en movimiento y denotando con la transformación genérica de Lorentz tenemos, en notación de Einstein: $F^{\mu\nu}$ ${\ estilo de visualización F'^ {\ mu\nu}}$ $\ lambda$

{\ estilo de visualización F '^ {\ mu \ nu} = \ Lambda _ {\ \ rho} ^ {\ mu} \ Lambda _ {\ \ sigma} ^ {\ nu} F ^ {\ rho \ sigma}}

Esta relación se deriva del hecho de que es un tensor y por lo tanto se transforma por definición de esta manera. $F.$

Campos en el asunto

En la materia, el campo eléctrico y el campo magnético vienen dados por: $\ matematicas {D}$ $\ matemáticasbf {H}$

{\ estilo de visualización \ mathbf {D} = \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} \ qquad \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ mathbf {H} \ qquad c ^ {2} = {\ frac {1} {\varepsilon_{0}\mu_{0}}}}

y transformar de manera similar a los campos en el vacío:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {D} '& = \ gamma \ left (\ mathbf {D} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ mathbf {v} \ times \ mathbf {H} \ right) + (1- \ gamma) (\ mathbf {D} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}) \ mathbf {\ hat {v}} \\\ mathbf {H} '& = \gamma \izquierda (\mathbf {H} - \mathbf {v} \times\mathbf {D} \derecha) + (1- \gamma) (\mathbf {H} \cdot \mathbf {\ sombrero {v} }) \ mathbf {\ hat {v}} \\\ end {alineado}}}

Potenciales de campo

El potencial vectorial relativo al campo magnético y el potencial escalar del campo eléctrico se transforman de la siguiente manera: [32] $\ matemáticasbf A$ $\psi$

{\ estilo de visualización \ varphi '= \ gamma (\ varphi -vA _ {\ paralelo}) \ qquad A _ {\ paralelo}' = \ gamma (A _ {\ paralelo} -v \ varphi / c ^ {2}) \ qquad A_ {\ bot} '= A _ {\ bot}}

donde es la componente paralela a la velocidad relativa y la perpendicular. En forma compacta: ${\ estilo de visualización \ estilo de script A _ {\ paralelo}}$ ${\ estilo de visualización \ estilo de script A _ {\ bot}}$

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {A} '& = \ mathbf {A} - {\ dfrac {\ gamma \ varphi} {c ^ {2}}} \ mathbf {v} + (\ gamma - 1) (\mathbf {A}\cdot\mathbf {\sombrero{v}})\mathbf{\sombrero{v}}\\{\varphi}'&=\gamma\izquierda(\varphi-\mathbf{A }\cdot\mathbf {v}\right)\end {alineado}}}

Fuentes de campo

Para las densidades de carga y corriente eléctrica tenemos: [32] $\rho$ $\ matemáticasbf J$

{\ estilo de visualización J _ {\ paralelo} '= \ gamma (J _ {\ paralelo} -v \ rho) \ qquad \ rho' = \ gamma (\ rho -vJ _ {\ paralelo} / c ^ {2}) \ qquad J_ {\ bot} '= J _ {\ bot}}

y agrupando los componentes:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {J} '& = \ mathbf {J} - \ gamma \ rho \ mathbf {v} + \ left (\ gamma -1 \ right) (\ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}) \ mathbf {\ hat {v}} \\ {\ rho} '& = \ gamma (\ rho - \ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {v} / c ^ {2}) \ final {alineado}}}

Aproximación no relativista

Para velocidades mucho más bajas que la velocidad de la luz es cercana a 1 y por lo tanto tenemos: $\rango$

{\ displaystyle \ mathbf {E} '\ approx \ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ qquad \ mathbf {B}' \ approx \ mathbf {B} - {\ frac {1 } {c^{2}}}\mathbf{v}\times\mathbf{E}}

{\ displaystyle \ mathbf {j} '\ approx \ mathbf {j} - \ rho \ mathbf {v} \ qquad \ rho' \ approx \ left (\ rho - {\ frac {1} {c ^ {2}} }\mathbf {j}\cdot\mathbf {v}\derecha)}

Esta es la aproximación utilizada en el caso no relativista.

Electrodinámica cuántica

La electrodinámica cuántica es una teoría cuántica del campo electromagnético que describe los fenómenos que involucran partículas cargadas eléctricamente interactuando por medio de la fuerza electromagnética , y ha permitido obtener predicciones extremadamente precisas de cantidades como el momento magnético anómalo del muón y el desplazamiento del Lamb. .-Retherford de los niveles de energía del hidrógeno .

Matemáticamente, la electrodinámica cuántica tiene la estructura de una teoría abeliana de calibre con un grupo de calibre U (1) : físicamente esto significa que las partículas cargadas interactúan entre sí a través del intercambio de partículas de masa cero llamadas fotones . Considerando los potenciales como operadores de campo obtenemos la cuantización del campo electromagnético, y sustituyendo en las ecuaciones de norma de Lorenz obtenemos: ${\frac 1{c^{2}}} =\varepsilon_{0}\mu_{0}$

{\ estilo de visualización \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ mathbf {A}} {\ parcial t ^ {2}}} = -\mu_{0}\mathbf{J}}

{\ estilo de visualización \ nabla ^ {2} \ varphi - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ varphi} {\ parcial t ^ {2}}} = - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon_ {0}}}}

Si queremos describir la interacción entre campos electromagnéticos con la ecuación de Dirac, las densidades de carga y corriente son: [33]

{\ mathbf {J}} = - e \ psi ^ {{\ daga}} {\ boldsymbol {\ alpha}} \ psi \, \ quad \ rho = -e \ psi ^ {{\ daga}} \ psi

donde están las tres primeras matrices de Dirac . Por lo tanto, podemos escribir las ecuaciones de Maxwell como: ${\ negrita \ alfa}$

{\ estilo de visualización \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ mathbf {A}} {\ parcial t ^ {2}}} = \ mu _ {0} y \ psi ^ {\ daga} {\ boldsymbol {\ alfa}} \ psi}

{\ estilo de visualización \ nabla ^ {2} \ varphi - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ varphi} {\ parcial t ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} y \ psi ^ {\ daga} \ psi}

Esta formulación es la base de la electrodinámica cuántica.

Campos electromagnéticos y salud

La exposición humana a los campos electromagnéticos es un problema relativamente reciente ( 1972 ) que cobra considerable interés con la introducción masiva de los sistemas de telecomunicaciones y de transmisión y distribución de electricidad. En realidad, incluso en ausencia de tales sistemas, estamos constantemente inmersos en campos electromagnéticos debido a todos aquellos fenómenos naturales atribuibles a la naturaleza electromagnética, en primer lugar la radiación solar. Con el fin de profundizar el vínculo entre la exposición a los campos electromagnéticos y la salud humana, se han iniciado estudios epidemiológicos específicos tanto en Italia como en el extranjero desde la segunda mitad de los años noventa del siglo pasado. Las medidas del campo electromagnético se realizan con sondas especiales.

Notas

^ Enciclopedia en línea de Britannica - Campo electromagnético , en britannica.com . Consultado el 5 de julio de 2012 .
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^ Herbert Daniel, 4.5.1 , en Physik: Elektrodynamik, relativistische Physik , Walter de Gruyter, 1997, págs. 360–361, ISBN 3-11-015777-2 . , Extracto de las páginas 360-361
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^ Jackson, John D. (1998). Electrodinámica clásica (3ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X
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Bibliografía

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Lev D. Landau, Evgenij M. Lifshits, Física teórica 2 - Teoría de campos , Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-359-5358-8 .
( EN ) John D Jackson, Electrodinámica clásica , 3ª edición, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .

Otros proyectos

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Enlaces externos

( EN ) Campo electromagnético , en Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Proyecto CAMELET Campos electromagnéticos y ISS Health
Proyecto POWERFIELD Blindaje y mitigación de campos electromagnéticos
Campos electromagnéticos de la OMS