Lógica matemática

La lógica matemática es el campo de las matemáticas que estudia los sistemas formales desde el punto de vista de cómo codificar los conceptos intuitivos de prueba y cálculo como parte de los fundamentos de las matemáticas . Se trata de las partes de la lógica que se pueden modelar matemáticamente. Otros términos usados a menudo en el pasado son lógica simbólica (un término opuesto a la lógica filosófica ) y metamatemática , un término que ahora se aplica más específicamente a ciertos aspectos de la teoría de la prueba .

Historia

Lógica matemática es el nombre asignado por Giuseppe Peano a lo que ya se conocía como lógica simbólica o incluso formal . Es básicamente la lógica de Aristóteles , pero está escrita en términos de álgebra abstracta y combinatoria .

Algunos de los matemáticos con actitudes filosóficas más marcadas, como Gottfried Leibniz y Johann Heinrich Lambert , hicieron intentos de tratar las operaciones de la lógica formal con modalidades simbólicas o algebraicas ; sus esfuerzos, sin embargo, permanecieron casi desconocidos y aislados. Fueron George Boole y su continuador, Augustus De Morgan , quienes, a mediados del siglo XIX , propusieron algunas modalidades matemáticas sistemáticas (de carácter no cuantitativo) para el tratamiento de la lógica. De esta manera se reformó y completó la tradicional doctrina aristotélica de la lógica; de esta manera, también se desarrolló una herramienta adecuada para la investigación de los conceptos fundamentales de las matemáticas . El desarrollo de esta "nueva" lógica ha llevado a abordar problemas que han dado lugar a controversias fundacionales ampliamente debatidas entre 1900 y 1925 y que sería engañoso considerar recompuestas; en cualquier caso, la filosofía de las matemáticas ha recibido una profunda clarificación a partir de las adquisiciones de la lógica matemática.

Mientras que el desarrollo tradicional de la lógica clásica pone un fuerte énfasis en la forma de los argumentos , la actitud de la lógica matemática moderna podría resumirse con la frase estudio combinatorio del contenido . Esta expresión abarca tanto sus actitudes sintácticas (por ejemplo, identificar en un lenguaje formal una cadena que se enviará a un programa compilador para transcribirla como una secuencia de instrucciones para la computadora), como sus actitudes semánticas (construir modelos específicos o conjuntos completos de cadenas, en la teoría de modelos ).

Algunas publicaciones notables han sido Begriffsschrift (Ideografía) de Gottlob Frege y Principia Mathematica de Bertrand Russell y Alfred North Whitehead .

Argumentos de lógica matemática

Entre las principales áreas de la lógica matemática se encuentran la teoría de modelos , la teoría de pruebas y la teoría de la recursión . La teoría de conjuntos a veces se agrega a estos . Hay muchas superposiciones con la informática teórica , a partir del trabajo de los pioneros de esta disciplina, como Alan Turing y Alonzo Church , que fueron matemáticos y lógicos.

El estudio de la semántica de los lenguajes de programación se deriva de la teoría de modelos , como sucedió con la verificación de programas , en particular con la verificación de modelos .

El isomorfismo de Curry-Howard entre pruebas y programas está relacionado con la teoría de la prueba ; La lógica intuicionista y la lógica lineal también son significativas para estas preguntas . Cálculos como el cálculo lambda y la lógica combinatoria se estudian hoy principalmente como lenguajes de programación idealizados .

En el sentido de especular, además, la informática contribuye a la lógica al desarrollar herramientas para la verificación automática de demostraciones y también para la identificación de demostraciones: entre ellas, los probadores automáticos de teoremas y las herramientas de programación lógica .

Teoremas significativos

Algunos hallazgos clave

Las pruebas computacionales de la validez universal de las fórmulas lógicas de primer orden pueden estar sujetas a la verificación algorítmica de su validez. Con una expresión técnica se dice que el lenguaje de las demostraciones es recursivo primitivo . Esencialmente esto es equivalente al teorema de completitud de Gödel ; sin embargo, generalmente se formula para dejar claro que no tiene nada que ver con los algoritmos .
El lenguaje de las fórmulas válidas de la lógica de primer orden no es decidible, sino semidecidible, esto implica que existe un algoritmo capaz de evaluar la validez de una fórmula. En el caso de que la fórmula sea válida, el algoritmo puede terminar devolviendo la prueba de su validez como prueba, de lo contrario, si la fórmula no es válida, el algoritmo no puede notarlo y continúa realizando cálculos (es se dice que diverge), sin dar nunca una respuesta. Por esta razón se dice que el lenguaje de las fórmulas es recursivamente enumerable .
El lenguaje de todas las fórmulas universalmente válidas de la lógica de segundo orden ni siquiera es enumerable recursivamente. Esto es una consecuencia del teorema de incompletitud de Gödel , por lo que cualquier algoritmo que tome una fórmula como entrada podría divergir incluso si la fórmula es válida.
Eliminación de cortes en el cálculo de secuencias .
La independencia lógica de la hipótesis del continuo demostrada por Paul Cohen en 1963 .

Bibliografía

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Otros proyectos

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Enlaces externos

lógica matemática , en Diccionario de Filosofía , Instituto de la Enciclopedia Italiana , 2009.

( EN ) Lógica matemática , en Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

( ES ) Lógica matemática en el mundo , en world.logic.at . Consultado el 5 de marzo de 2015 (archivado desde el original el 8 de abril de 2007) .
Lógica polivaluada , en home.swipnet.se._ _ _ Consultado el 24 de febrero de 2005 (archivado desde el original el 5 de junio de 2009) .
Una breve historia de la lógica ( PDF ) , en ulisse.sissa.it .
( ES ) Lógica de la computabilidad Orientación reciente en lógica matemática, que pretende trasladarla desde la teoría de la verdad hacia la teoría de la computabilidad.