Cuantificador

En lógica , los cuantificadores son expresiones como "algo" ( cuantificador existencial ) y "todo" ( cuantificador universal ) y sus contrapartes simbólicas:

el nombre de "cuantificadores" está relacionado con el hecho de que dan información sobre qué tan grande es la extensión en la que un predicado es válido.

A estos se suma un caso particular del cuantificador existencial, que es el cuantificador único (leemos: " existe y es único ", lo que equivale a decir "es uno y sólo uno").

Historia

Desde sus inicios, la lógica siempre se ha preocupado por el mecanismo de cuantificación [1] , y la falta de un análisis completo del mismo hizo que se estancara durante milenios enteros, hasta el año 1879 cuando el célebre matemático del siglo XIX Frege lo expuso como una función de nivel superior (es decir, que tiene como argumento una función de nivel inferior). Frege fue el padre de la lógica formal y la lógica matemática; y ganó el desafío de expresar en lenguaje formal palabras como todo y existe (presente en proposiciones como " Todos los hombres son mortales " o " Existe al menos un filósofo griego ") que parecían imposibles de expresar.

Aunque la idea de cuantificador debe atribuirse, por lo tanto, a Frege, fueron Peano y Gentzen quienes concibieron los símbolos ∃ (1897, Peano) y ∀ (1935, Gentzen), hoy ciertamente más utilizados que el antiguo signo bidimensional introducido. por el inventor del siglo XIX para el cuantificador universal (del cual se obtiene el cuantificador existencial al negarlo; razón por la cual aún hoy en día muchos lenguajes formales se construyen utilizando un solo cuantificador y la negación para expresar el otro) y nunca más utilizado posteriormente por el evidente desorden.

Relaciones con conectores lógicos

Los cuantificadores universal y existencial convenientemente combinados con el conectivo lógico de negación pueden realizar la función del otro. La afirmación "es falso que todo número sea par" también se puede expresar diciendo que "hay un número que no es par". En lenguaje formal esto se puede traducir diciendo que

es equivalente a

y esto se aplica a cualquier elección de .

De manera similar, la afirmación "no hay un número par" es equivalente a la afirmación "no todos los números son pares", podemos decir formalmente que

es equivalente a

.

Existencia y singularidad

En matemáticas se utiliza la expresión simbólica

para abreviar la expresión "existe una sola x...".

Formalmente, la expresión se puede expresar (para no tener que insertar una nueva notación entre los símbolos de la sintaxis del lenguaje) usando solo los conectivos estándar , los cuantificadores y la relación de igualdad de la siguiente manera:

.

También se puede expresar más brevemente usando un conector bicondicional (presente entre los cinco conectores estándar):

Cuantificadores anidados

Combinando cuantificadores de diferentes tipos es posible obtener oraciones de complejidad creciente para las que se requiere mucha cautela. Una expresión como

no es equivalente a

para darte cuenta de esto, solo piensa en frases como

"por cada número x existe un número y mayor que x"

Y

"existe un número y que es mayor que cualquier número x"

el primero establece que para cualquier número siempre se puede encontrar uno mayor, el segundo establece que existe un número mayor que cualquier otro.

Fórmula bien formada

Si es una fórmula y una variable individual (nombre propio de cosa o persona), entonces en lógica se cumple que:

si está bien formado ∃x está bien formado si está bien formado ∀x está bien formado

Lo mismo es cierto para todos los conectores lógicos con respecto a dos fórmulas bien formadas:

si e está bien formada, entonces está bien formada; si e está bien formada, entonces está bien formada; si e está bien formada, entonces está bien formada.

Cuantificación en blanco

Se dice que una variable es libre si al menos una de sus ocurrencias en una fórmula no tiene cuantificadores. Se dice que está ligado (a un cuantificador) si cada vez que lo encontramos en la fórmula, aparece con el cuantificador existencial o universal. Ejemplo:

∀y (M (y, x)), x es una variable libre, y está restringida.

Se dice que una fórmula bien formada es abierta si contiene al menos una aparición de una variable sin restricciones. Si (todas las apariciones de) todas las variables tienen un cuantificador, se dice que la wff está cerrada .

Se dice que la cuantificación es vacua (o tonta o que "opera en vano") si la variable en la fórmula no necesita o no necesita ser libre. Ex .:

∀y (M (y, x)) (1)

equivalente a

∀z ∃y (∀y (M (y, x))

donde z no tiene ocurrencias en (1) y (las ocurrencias de) y ya estaban limitadas por el cuantificador.

Notas

  1. ^ Así define Aristóteles la clausura universal: «Decimos 'se predica de todo' cuando no es posible encontrar algo que sea parte del sustrato del que no se dice el otro término. Lo mismo ocurre con 'uno predica de nadie' [es decir, cuando no es posible encontrar algo que sea parte del sustrato del que se habla al otro]» [24b28-30]. Después de eso, Aristóteles no define el cierre existencial, pero puede ser considerado como la validez de la negación del cierre universal (que juntos constituyen los dos elementos de una pareja antifatiga, es decir, de proposiciones contradictorias), por lo que "decimos ' uno predice alguna' si es posible encontrar algo que sea parte del sustrato del cual se dice el otro término y decimos 'de alguien no se predica' si es posible algo que sea parte del sustrato del cual lo otro no se dice".

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