Teorema de existencia de Peano

En matemáticas , en particular en el contexto de las ecuaciones diferenciales ordinarias , el teorema de existencia de Peano (también llamado teorema de Peano , o teorema de Cauchy-Peano , según una denominación que remite a Giuseppe Peano y Augustin-Louis Cauchy ) es un enunciado importante que garantiza la existencia de soluciones para un problema dado en valores iniciales .

El teorema

Sea un subconjunto abierto de , sea una función continua y considere una ecuación diferencial ordinaria explícita de primer orden definida en : $D.$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} \ tiempos \ mathbb {R}}$ ${\ estilo de visualización f \ dos puntos D \ a \ mathbb {R}}$ $D.$

{\ estilo de visualización y '(x) = f \ izquierda (x, y (x) \ derecha)}

Entonces cualquier problema de valor inicial para : $F$

{\ estilo de visualización y \ izquierda (x_ {0} \ derecha) = y_ {0}}

con , tiene solución local , donde es una vecindad de en , tal que: ${\ estilo de visualización (x_ {0}, y_ {0}) \ en D}$ ${\ estilo de visualización z \ dos puntos I \ a \ mathbb {R}}$ $LA$ $x_0$ $\ matematicas {R}$

{\ estilo de visualización z '(x) = f \ izquierda (x, z (x) \ derecha)}

para todos ${\ estilo de visualización x \ en I}$

La solución puede no ser única, ya que un mismo valor inicial puede dar lugar a diferentes soluciones . $(x_0, y_0)$ $z$

Otros resultados

Un resultado correlacionado con el teorema de Peano es el teorema de existencia y unicidad para un problema de Cauchy , que asume que es una función de Lipschitz con respecto al segundo argumento y concluye por la existencia y unicidad de una solución (mientras que el enunciado de l Peano muestra solo existencia) . Por ejemplo, considere la ecuación: $F$

{\ estilo de visualización y '= \ izquierda \ vert y \ derecha \ vert ^ {\ frac {1} {2}}}

en el dominio Para el teorema de Peano esta ecuación tiene soluciones, pero el teorema de existencia y unicidad no se puede aplicar a un problema de Cauchy ya que el lado derecho no es Lipschitz en una vecindad del origen: la solución no es única. ${\ estilo de visualización \ izquierda [0,1 \ derecha]}$

Se obtiene una generalización significativa con el teorema de existencia de Carathéodory , que requiere condiciones más débiles para . Sin embargo, estas condiciones son sólo suficientes. [1] $F$

Notas

^ Hay otros resultados, como el de Okamura, que proporcionan condiciones necesarias y suficientes para que el problema de valor inicial tenga una solución única. Consulte Ravi P. Agarwal y V. Lakshmikantham, Uniqueness and Nonuniqueness Criteria for Ordinary Differential Equations , World Scientific, 1993, ISBN 978-981-02-1357-2 . , página 159.

Bibliografía

Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Lecciones de análisis matemático vencidas , Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203 , Párrafo 50.
( EN ) G. Peano, Sobre la integrabilidad de las ecuaciones diferenciales de primer orden , Acts Accad. Sci. Turín, 21 (1886) 437–445. [1]
( EN ) G. Peano, Demonstration de intégrabilité des équations différentielles ordinaires , Mathematische Annalen , 37 (1890) 182–228.
( EN ) WF Osgood, Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy / dx = f (x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung , Monatsheft Mathematik, 9 (1898) 331–345.
( EN ) Gerald Teschl, Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos , Providence, American Mathematical Society, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 .
Murray , Francisco J.; Miller, Kenneth S., Teoremas de existencia para ecuaciones diferenciales ordinarias , Krieger, Nueva York, reimpreso en 1976, edición original publicada por New York University Press, 1954

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