Teorema de noether

En matemáticas y física , el teorema de Noether , también llamado teorema de simetría , debido a Emmy Noether , destaca el vínculo entre las simetrías de un sistema físico y las cantidades conservadas . Ejemplos importantes son el momento si el sistema tiene simetría para traslaciones espaciales , el momento angular para sistemas invariantes para rotaciones y la energía para simetrías temporales.

Información general

Más concretamente, el teorema de Noether establece que a cada simetría del lagrangiano corresponde una cantidad conservada , es decir, a cada transformación continua de las coordenadas generalizadas y , posiblemente, del tiempo , lo que deja inalterable al lagrangiano . Por ejemplo, si siguiendo la transformación , donde es una cantidad infinitesimal, tenemos que: $q_ {i}$ ${\ punto q} _ {i}$ $t$ ${\ estilo de visualización {\ mathcal {L}} ({\ punto {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}$ ${\ estilo de visualización q (t) \ a q (t) + \ varepsilon}$ $\ varepsilon$

{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial \ mathbf {q}}} = 0}

es decir , es una coordenada cíclica , es decir que el lagrangiano no depende explícitamente de ella, entonces se conserva: $\ matemáticasbf q$ ${\ matemáticasbf p}$

{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} = \ mathbf {p} = {\ text {constante}}}

donde es el momento conjugado a la coordenada . ${\ matemáticasbf p}$ $\ matemáticasbf q$

El teorema, que también está formulado para las simetrías de la acción funcional , fue publicado por Emmy Noether en 1918 en el artículo "Invariante Variationsprobleme", que apareció en Gottinger Nachrichten . [1] [2]

Introducción

En el caso más simple podemos considerar un punto material de masa en una dimensión con posición y velocidad , descrita por el Lagrangiano . El momento del punto material y la fuerza que actúa sobre él: $metro$ ${\ matemáticasbf q} (t)$ ${\ estilo de visualización {\ punto {\ mathbf {q}}} = d \ mathbf {q} / dt}$ ${\ estilo de visualización {\ mathcal {L}} ({\ punto {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q})}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {p} = \ parcial {\ mathcal {L}} / \ parcial {\ punto {\ mathbf {q}}}}$ $\ matemáticasbf F$

{\ estilo de visualización \ mathbf {F} = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial \ mathbf {q}}}}

están relacionados por la ecuación de Euler-Lagrange :

{\ estilo de visualización {F} = {\ punto {p}}}

que constituye la ecuación de movimiento del sistema. Supongamos que trasladamos la posición del punto de a con una transformación espacial parametrizada por la variable , es decir . Si el lagrangiano permanece sin cambios después de la transformación, entonces su derivada con respecto a es cero: $\ matemáticasbf q$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {q} ^ {\ principal}}$ $s$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {q} ^ {\ prime} = \ mathbf {q} (s)}$ $s$

{\ estilo de visualización {\ frac {d} {ds}} {\ mathcal {L}} ({\ punto {\ mathbf {q}}} (s), \ mathbf {q} (s)) = 0}

El teorema de Noether establece que en este caso la cantidad se conserva, es decir . Se dice que es una constante de movimiento . ${\ estilo de visualización J = \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {q} (s) / ds}$ ${\ punto J} = 0$ $j$

De manera equivalente, si el punto material tiene una posición y si el Lagrangiano no depende de alguna variable , las ecuaciones de Euler-Lagrange: ${\ mathbf q} = (q_ {1}, \ puntos, q_ {n})$ $q_ {i}$

{\ estilo de visualización {\ frac {d} {dt}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ punto {q}} _ {i}}} \ derecha) - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial q_ {i}}} = 0, \ quad i = 1, \ dots, n}

Demostrar que si entonces la cantidad se conserva , teniendo derivada temporal nula. ${\ estilo de visualización \ parcial {\ mathcal {L}} / \ parcial {q} _ {i} = 0}$ ${\ estilo de visualización p_ {i} = \ parcial {\ mathcal {L}} / \ parcial {\ punto {q}} _ {i}}$

Cuando una función es invariante con respecto a una transformación continua que involucra una o más variables, se dice que la función tiene una o más simetrías . El teorema de Noether también se puede enunciar considerando, en lugar de directamente el Lagrangiano, las simetrías de la acción asociadas con el movimiento del sistema, que es la integral del Lagrangiano con respecto al tiempo. [3]

Declaración

Dado un sistema de coordenadas de grado de libertad generalizado con velocidad y una función , si sigue la transformación infinitesimal: ${\ estilo de visualización \ mathbf {q} = (q_ {1}, \ puntos, q_ {n})}$ $norte$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {\ punto {q}} = ({\ punto {q}} _ {1}, \ puntos, {\ punto {q}} _ {n})}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {f} (t)}$

{\ displaystyle t \ to t, \ quad q_ {i} (t) \ to q_ {i} (t) + \ varepsilon f_ {i} (t), \ quad {\ dot {q}} _ {i} (t) \ a {\ punto {q}} _ {i} (t) + \ varepsilon {\ punto {f}} _ {i} (t)}

el lagrangiano no cambia, entonces las cantidades: ${\ estilo de visualización {\ mathcal {L}} ({\ punto {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}$

{\ estilo de visualización \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {q}} _ {i}}} f_ {i}}

son constantes de movimiento, es decir, se conservan . [4]

En el caso de una transformación que también involucre tiempo, es decir, tenemos que: ${\ estilo de visualización t \ a t + \ varepsilon}$

{\ displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {L}}} {dt}} = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ izquierda [{\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial q_ {i}}} {\ punto {q}} _ {i} + {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ punto {q}} _ {i}}} {\ ddot {q}} _ {i} \ derecha]}

y dado que la ecuación de movimiento tiene la forma ( ecuación de Euler-Lagrange ):

{\ estilo de visualización {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ punto {q}} _ {i}}} - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial q_ {i}}} = 0, \ quad \ forall i}

el primer término entre paréntesis se puede reescribir para tener:

{\ displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {L}}} {dt}} = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ izquierda [\ izquierda ({\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {q}} _ {i}}} \ derecha) {\ punto {q}} _ {i} + {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ punto {q}} _ {i}}} {\ ddot {q }} _ {i} \ derecha]}

es decir:

{\ estilo de visualización {\ frac {d {\ mathcal {H}}} {dt}} = - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial t}}}

donde está el hamiltoniano , la transformada de Legendre del lagrangiano: ${\ matemática {H}}$

{\ estilo de visualización {\ mathcal {H}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {q}} _ {i }}} {\ punto {q}} _ {i} - {\ matemática {L}}}

Por tanto, si no depende explícitamente del tiempo ( ) entonces se conserva ( , es decir ). $\ matemática {L}$ ${\ estilo de visualización - \ parcial {\ mathcal {L}} / \ parcial t = 0}$ ${\ matemática {H}}$ ${\ estilo de visualización d {\ mathcal {H}} / dt = 0}$ ${\ estilo de visualización {\ mathcal {H}} = {\ texto {constante}}}$

Simetrías de acción

El teorema de Noether se puede enunciar considerando, en lugar del Lagrangiano, la acción funcional integral : ${\ matemática {S}}$

{\ estilo de visualización {\ mathcal {S}} = \ int {\ mathcal {L}} ({\ punto {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t) \, \ mathrm {d} t}

Supongamos que es invariante bajo la transformación: ${\ matemática {S}}$

{\ estilo de visualización t \ to {\ bar {t}} (\ mathbf {q}, t, \ lambda)}

{\ displaystyle q_ {i} \ to {\ bar {q}} _ {i} (\ mathbf {q}, t, \ lambda) \ qquad \ mathbf {q} \ to \ mathbf {\ bar {q}} (\mathbf{q}, t,\lambda)}

donde es un parámetro continuo, es decir, ocurre: $\ lambda$

{\ estilo de visualización \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, \ tau) \, \ mathrm {d} \ tau = \ int _ {t_ {1} '} ^ {t_ {2}'} {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {\ bar {q}}}}, \mathbf {\ bar {q}}, \tau)\, \mathrm{d} \tau}

donde los extremos de integración varían durante la transformación. Considerando una variación infinitesimal: ${\ estilo de visualización \ delta \ lambda}$

{\ estilo de visualización \ qquad \ delta t = {\ bar {t}} - t = A (\ mathbf {q}, t) \ delta \ lambda \ qquad \ delta \ mathbf {q} = \ mathbf {\ bar {q }} ({\ bar {t}}) - \ mathbf {q} (t) = B (\ mathbf {q}, t) \ delta \ lambda}

la cantidad almacenada es:

{\ estilo de visualización \ izquierda ({\ mathcal {L}} - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ punto {q}} _ {i}}} {\ punto {q} } _ {i} \ right) A (\ mathbf {q}, t) + {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {q}} _ {i}}} B (\ mathbf {q}, t) = - {\ mathcal {H}} A (\ mathbf {q}, t) + p_ {i} B (\ mathbf {q}, t)}

donde se llama hamiltoniano y es el momento lineal conjugado a la coordenada . [5] ${\ matemática {H}}$ $Pi}$ $q_ {i}$

Demostración

Prueba 1

Considere un sistema físico descrito por un campo . Cuando una cierta cantidad es invariante bajo una transformación del sistema, entonces el Lagrangiano correspondiente es simétrico, es decir, si se transforma bajo una transformación infinitesimal como: $\psi$ $\psi$ $\ alfa$

\ psi \ flecha derecha \ psi + \ alfa \ Delta \ psi

el lagrangiano , al tener que ser invariante, debe convertirse en: ${\ matemática {L}}$

{\ mathcal {L}} \ rightarrow {\ mathcal {L}} + \ alpha \ parcial _ {\ mu} {\ mathcal {J}} ^ {\ mu}

donde representa una corriente de cierta cantidad que fluye a través de la superficie de la integral que define la acción. ${\ matemática {J}}$

En general, la variación de se puede escribir como: ${\ matemática {L}}$

\ alpha \ Delta {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial \ psi}} (\ alpha \ Delta \ psi) + {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ psi)}} \ parcial _ {\ mu} (\ alfa \ Delta \ psi)

Considerando la derivada de un producto, el segundo término se puede reescribir como:

\ parcial _ {\ mu} \ izquierda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ psi)}} \ alpha \ Delta \ psi \ derecha) - \ alpha \ Delta \ psi \ parcial _ {\ mu} \ izquierda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ psi)}} \ derecha)

Sustituyendo y tomando un factor común obtenemos: $\ alfa \ delta \ psi$

{\ estilo de visualización - \ alfa \ delta \ psi \ izquierda (\ parcial _ {\ mu} {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ psi)}} - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial \ psi}} \ derecha) + \ parcial _ {\ mu} \ izquierda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ psi)}} \ alpha \ Delta \ psi \ right)}

Recordando la ecuación de Euler-Lagrange , lo anterior se convierte en:

\ parcial _ {\ mu} \ izquierda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ psi)}} \ alpha \ Delta \ psi \ derecha)

\ parcial _ {\ mu} \ izquierda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ psi)}} \ alpha \ Delta \ psi \ derecha) = \ alfa \ parcial _ {\ mu} {\ mathcal {J}} ^ {\ mu}

Reescribiendo el todo, podemos ver cómo hay una conservación de la corriente al notar que: ${\ matemática {J}}$

\ parcial _ {\ mu} \ izquierda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ psi)}} \ Delta \ psi - {\ mathcal {J }} ^ {\ mu} \ derecha) = 0

Prueba 2

Supongamos que las variables dependientes son tales que la acción , dada por la integral del Lagrangiano : $\ matemáticasbf q$

{\ estilo de visualización {\ mathcal {S}} = \ int {\ mathcal {L}} ({\ punto {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t) \, \ mathrm {d} t}

es invariante con respecto a variaciones infinitesimales de ellos. En otras palabras, se debe satisfacer la ecuación de Euler-Lagrange :

{\ estilo de visualización {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ punto {\ mathbf {q}}}}} - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial \ mathbf {q}}} = 0}

Suponga que la integral de acción es invariante con respecto a una simetría continua. Tal simetría está representada por un flujo que actúa sobre las variables de la siguiente manera: $\ fi$

{\ estilo de visualización t \ flecha derecha t '= t + \ varepsilon \ tau}

{\ estilo de visualización \ mathbf {q} (t) \ flecha derecha \ mathbf {q} '(t') = \ phi (\ mathbf {q} (t), \ varepsilon) = \ phi (\ mathbf {q} (t '-\varepsilon\tau),\varepsilon)}

donde es una variable real que cuantifica el aumento de caudal, mientras que es una constante real relativa a la traslación del caudal en el tiempo (puede ser cero). Tenemos: $\ varepsilon$ $\tau$

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}} (t) \ rightarrow {\ dot {\ mathbf {q}}} '(t') = {\ frac {d} {dt}} \ phi (\ mathbf {q} (t), \ varepsilon) = {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial \ mathbf {q}}} (\ mathbf {q} (t '- \ varepsilon \ tau), \ varepsilon) \ cdot {\ punto {\ mathbf {q}}} (t '- \ varepsilon \ tau)}

y la acción integral se convierte en:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ mathcal {S}} '(\ varepsilon) = \ int _ {t_ {1} + \ varepsilon \ tau} ^ {t_ {2} + \ varepsilon \ tau} {\ mathcal {L}} [{\ punto {\ mathbf {q}}} '(t'), \ mathbf {q} '(t'), t '] \, \ mathrm {d} t' = \ int _ {t_ {1} + \ varepsilon \ tau} ^ {t_ {2} + \ varepsilon \ tau} {\ mathcal {L}} \ izquierda [{\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial \ mathbf {q} }} (\mathbf{q} (t'-\varepsilon\tau),\varepsilon)\cdot{\dot{\mathbf{q}}} (t'-\varepsilon\tau),\\phi(\mathbf {q} (t'-\varepsilon\tau),\varepsilon),\t'\right]\,\mathrm {d} t'\ end {alineado}}}

La acción sólo puede ser considerada como una función de . Calculando la derivada en y explotando la simetría obtenemos: $\ varepsilon$ $\varepsilon = 0$

{\ estilo de visualización {\ comenzar {alineado} 0 & = {\ frac {d {\ mathcal {S}} '} {d \ varepsilon}} (0) = {\ mathcal {L}} [{\ dot {\ mathbf { q}}} (t_ {2}), \ mathbf {q} (t_ {2}), t_ {2}] \ tau - {\ mathcal {L}} [{\ punto {\ mathbf {q}} } (t_ {1}), \mathbf {q} (t_ {1}), t_ {1}] \tau\\ [6pt] & {} + \int_{t_ {1}}^{t_ {2 } } {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial \ mathbf {q}}} \ izquierda (- {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial \ mathbf {q}}} { \ punto {\ mathbf {q}}} \ tau + {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial \ varepsilon}} \ right) + {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial { \ punto {\ mathbf {q}}}}} \ izquierda (- {\ frac {\ parcial ^ {2} \ phi} {\ parcial \ mathbf {q} ^ {2}}} {\ punto {\ mathbf { q}}} ^ {2} \ tau + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ phi} {\ parcial \ varepsilon \ parcial \ mathbf {q}}} {\ dot {\ mathbf {q}}} - {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial \ mathbf {q}}} {\ ddot {\ mathbf {q}}} \ tau \ right) \, \ mathrm {d} t \ end {alineado}} }

La ecuación de Euler-Lagrange implica que:

{\ estilo de visualización {\ frac {d} {dt}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ punto {\ mathbf {q}}}}} {\ frac { \ parcial \ phi} {\ parcial \ mathbf {q}}} {\ punto {\ mathbf {q}}} \ tau \ derecha) = \ izquierda ({\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} \ right) {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial \ mathbf {q}}} {\ dot {\ mathbf {q}}} \ tau + {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ punto {\ mathbf {q}}}}} \ izquierda ({\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial \ mathbf {q}}} \ right) {\ dot {\ mathbf {q}}} \ tau + {\ frac {\ parcial {\ mathcal { L}}} {\ parcial {\ punto {\ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial \ mathbf {q}}} {\ ddot {\ mathbf {q}}} \ tau = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial \ mathbf {q}}} {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial \ mathbf {q}}} {\ dot { \ mathbf {q}}} \ tau + {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} \ left ({\ frac {\ parcial ^ {2} \ phi} {\ parcial \ mathbf {q} ^ {2}}} {\ punto {\ mathbf {q}}} \ derecha) {\ punto {\ mathbf {q}}} \ tau + {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} { \ parcial {\ punto {\ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial \ mathbf {q}}} {\ ddot {\ mathbf {q}}} \ tau}

y sustituyendo en la ecuación anterior llegamos a:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} 0 & = {\ frac {d {\ mathcal {S}} '} {d \ varepsilon}} (0) = {\ mathcal {L}} [\ mathbf {q} ( t_ {2}), {\ punto {\ mathbf {q}}} (t_ {2}), t_ {2}] \ tau - {\ mathcal {L}} [\ mathbf {q} (t_ {1} ) , {\ punto {\ mathbf {q}}} (t_ {1}), t_ {1}] \ tau - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ punto {\ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial \ mathbf {q}}} {\ punto {\ mathbf {q}}} (t_ {2}) \ tau + {\ frac { \ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial \ mathbf {q}}} {\ dot { \ mathbf {q}}} (t_ {1}) \ tau \\ [6pt] & + \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L} } } {\ parcial \ mathbf {q}}} {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial \ varepsilon}} + {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot { \ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ phi} {\ parcial \ varepsilon \ parcial \ mathbf {q}}} {\ punto {\ mathbf {q}}} \, \ mathrm {d} t \ end {alineado}}}

Luego, usando la ecuación de Euler – Lagrange nuevamente:

{\ frac {d} {dt}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal L}} {\ parcial {\ dot {{\ mathbf {q}}}}}} {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial \ varepsilon}} \ derecha) = \ izquierda ({\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ parcial {\ mathcal L}} {\ parcial {\ punto {{\ mathbf {q }}}}}} \ right) {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial \ varepsilon}} + {\ frac {\ parcial {\ mathcal L}} {\ parcial {\ dot {{\ mathbf {q }}}}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ phi} {\ parcial \ varepsilon \ parcial {\ mathbf {q}}}} {\ punto {{\ mathbf {q}}}} = { \ frac {\ parcial {\ mathcal L}} {\ parcial {\ mathbf {q}}}} {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial \ varepsilon}} + {\ frac {\ parcial {\ mathcal L }} {\ parcial {\ punto {{\ mathbf {q}}}}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ phi} {\ parcial \ varepsilon \ parcial {\ mathbf {q}}}} { \ punto {{\ mathbf {q}}}}

e insertando en el informe anterior se puede escribir:

{\ estilo de visualización 0 = {\ mathcal {L}} [\ mathbf {q} (t_ {2}), {\ punto {\ mathbf {q}}} (t_ {2}), t_ {2}] \ tau - {\ mathcal {L}} [\ mathbf {q} (t_ {1}), {\ punto {\ mathbf {q}}} (t_ {1}), t_ {1}] \ tau - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial \ mathbf {q}}} {\ dot { \ mathbf {q}}} (t_ {2}) \ tau + {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} {\ frac { \ parcial \ phi} {\ parcial \ mathbf {q}}} {\ punto {\ mathbf {q}}} (t_ {1}) \ tau + {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} { \ parcial {\ punto {\ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial \ varepsilon}} (t_ {2}) - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L} }} {\ parcial {\ punto {\ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial \ varepsilon}} (t_ {1})}

lo que demuestra que la cantidad:

{\ estilo de visualización \ izquierda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial \ mathbf {q}}} {\ punto {\ mathbf {q}}} - {\ mathcal {L}} \ right) \ tau - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ punto {\ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial \ varepsilon}}}

es una constante de movimiento, es decir, es una cantidad conservada.

Dado que tenemos: $\ phi [{\ matemáticasbf q}, 0] = {\ matemáticasbf q}$

{\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial {\ mathbf {q}}}} = 1

y la cantidad conservada se simplifica tomando la forma:

{\ estilo de visualización \ izquierda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ punto {\ mathbf {q}}}}} {\ punto {\ mathbf {q}}} - {\ mathcal {L}} \ right) \ tau - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial \ varepsilon}}}

En la derivación se ha supuesto que el caudal no varía con el tiempo, y de forma equivalente se obtiene un resultado más general.

Prueba 3

Considere una variedad suave y una variedad objetivo . Sea el espacio de configuración de las funciones suaves de a . De manera más general, se pueden considerar secciones del haz largo . En la mecánica clásica , por ejemplo, es la variedad unidimensional la que representa el tiempo, y el espacio objetivo es el espacio de fase , el haz cotangente del espacio de posiciones generalizadas . $METRO.$ $t$ ${\ matemática {C}}$ $METRO.$ $t$ $METRO.$ $METRO.$ $\ matematicas {R}$

La acción es un funcional del tipo:

{\ mathcal {S}}: {\ mathcal {C}} \ rightarrow \ mathbb {R}

que mapea (y no por razones físicas). Para que la acción sea local es necesario imponer otras restricciones a la funcional: si se supone que es la integral su del lagrangiano , que es función de , de sus derivadas y de la posición. Explícitamente, la acción se define de la siguiente manera: $\ matematicas {R}$ ${\ matemáticasbb {C}}$ $\ phi \ en {\ mathcal {C}}$ $S (\ fi)$ $METRO.$ ${\ mathcal {{\ mathcal L}}} (\ phi, \ parcial \ phi, \ parcial \ parcial \ phi, ..., x)$ $\ fi$

{\ mathcal S} [\ phi] \ equiv \ int _ {M} {\ mathcal {{\ mathcal L}}} (\ phi (x), \ parcial \ phi (x), \ parcial \ parcial \ phi ( x), ..., x) d ^ {n} x \ qquad \ forall \ phi \ in {\ mathcal {C}}

La mayor parte del tiempo se supone que el Lagrangiano depende únicamente del valor del campo y su primera derivada, aunque esto no es generalmente cierto.

Si es compacto , las condiciones de contorno se obtienen especificando los valores de en el contorno . De lo contrario, podemos proporcionar límites adecuados para cuando tiende a infinito . Esto hace posible obtener el conjunto de funciones tal que todas las derivadas funcionales de su sean nulas y satisfagan las condiciones de contorno dadas. Este conjunto está determinado, considerando las condiciones de contorno, por las soluciones on-shell de las ecuaciones de Euler-Lagrange: $METRO.$ $\ fi$ $\ fi$ $X$ $\ fi$ $S.$ $\ fi$ $\ fi$

{\ frac {\ delta {\ mathcal {S}}} {\ delta \ varphi}} = - \ parcial _ {\ mu} \ izquierda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {{\ mathcal L}}} } {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ phi)}} \ right) + {\ frac {\ parcial {\ mathcal {{\ mathcal L}}}} {\ parcial \ phi}} = 0

El lado izquierdo es la derivada funcional de la acción con respecto a . En mecánica clásica el Lagrangiano viene dado por la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial . $\ fi$ $t$ $tu$

Considere una transformación infinitesimal generada por un funcional tal que: ${\ matemática {C}}$ $q$

Q \ izquierda [\ int _ {N} {\ mathcal {{\ mathcal L}}} \, {\ mathrm {d}} ^ {n} x \ right] \ approx \ int _ {{\ parcial N}} f ^ {\ mu} [\ phi (x), \ parcial \ phi, \ parcial \ parcial \ phi, \ ldots] {\ mathrm {d}} s _ {{\ mu}}

para cada subvariedad . Equivalentemente: $No.$

Q [{\ mathcal {{\ mathcal L}}} (x)] \ approx \ parcial _ {\ mu} f ^ {\ mu} (x) \ quad \ forall x

Dónde está:

{\ mathcal {{\ mathcal L}}} (x) = {\ mathcal {{\ mathcal L}}} [\ phi (x), \ parcial _ {\ mu} \ phi (x), x]

Si esto es cierto dentro y fuera del caparazón , entonces genera simetría fuera del caparazón . Si solo es válido en shell, entonces genera una simetría en shell . El funcional es un generador de un grupo de simetría de Lie de un parámetro . $q$ $q$ $q$

Por el teorema de Euler – Lagrange para cada si, sobre capa: $No.$

{\ estilo de visualización Q \ izquierda [\ int _ {N} {\ mathcal {\ mathcal {L}}} \, \ mathrm {d} ^ {n} x \ derecha] = \ int _ {N} \ izquierda [{ \ frac {\ parcial {\ mathcal {\ mathcal {L}}}} {\ parcial \ phi}} - \ parcial _ {\ mu} {\ frac {\ parcial {\ mathcal {\ mathcal {L}}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ phi)}} \ right] Q [\ phi] \, \ mathrm {d} ^ {n} x + \ int _ {\ parcial N} {\ frac {\ parcial {\ mathcal {\ mathcal {L}}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ phi)}} Q [\ phi] \, \ mathrm {d} s _ {\ mu} \ approx \ int _ {\ N parcial} f ^ {\ mu} \, \ mathrm {d} s _ {\ mu}}

Dado que esto es cierto para cada , la relación se cumple: $No.$

\ parcial _ {\ mu} \ izquierda [{\ frac {\ parcial {\ mathcal {{\ mathcal L}}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ phi)}} Q [\ phi] - f ^ {\ mu} \ derecho] \ aproximadamente 0

que es la ecuación de continuidad de la corriente de Noether asociada a la simetría, definida por: [6] $J^\mu$

J ^ {\ mu} \, = \, {\ frac {\ parcial {\ mathcal {{\ mathcal L}}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ phi)}} Q [\ phi] -f^{\ mu}

Si integramos la corriente de Noether en una sección de tipo temporal , obtenemos una cantidad conservada llamada carga de Noether .

Teoría cuántica de campos [7]

En el formalismo de la segunda cuantización es posible escribir el teorema de Noether como una relación entre funciones de correlación . Sean n operadores genéricos. La función de correlación es por definición: ${\ estilo de visualización O_ {1} ... O_ {n}}$

${\ estilo de visualización <O_ {1} ... O_ {n}> = {\ frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ int D \ phi e ^ {- {\ mathcal {S}}} O_ { 1} ... O_{n}}$

con acción, función de partición y medición sobre todos los campos fundamentales presentes en la acción. Considero una transformación genérica en los campos fundamentales tal que ${\ matemática S}$ ${\ estilo de visualización {\ matemática {Z}}}$ ${\ estilo de visualización D \ phi}$ ${\ estilo de visualización \ phi \ longrightarrow \ phi '}$

${\ estilo de visualización {\ mathcal {S}} (\ phi) = {\ mathcal {S}} '(\ phi') + \ delta {\ mathcal {S}} (\ phi ')}$

${\ estilo de visualización O_ {i} (\ phi) = O '_ {i} (\ phi') + \ delta O_ {i} (\ phi ')}$

Por tanto, será válida la siguiente relación:

${\ estilo de visualización \ int D \ phi e ^ {- {\ mathcal {S}} (\ phi)} O_ {1} ... O_ {n} = \ int D \ phi 'e ^ {- {\ mathcal { S}} '(\ phi') - \ delta {\ mathcal {S}} (\ phi ')} (O_ {1} + \ delta O_ {1}) ... (O_ {n} + \ delta O_ {norte})}$

Expansión al primer orden . En la relación anterior los términos de orden 0 se anulan entre sí, por lo que se verifica la siguiente relación de primer orden: ${\ estilo de visualización e ^ {- \ delta {\ mathcal {S}} (\ phi ')} \ approx 1- \ delta {\ mathcal {S}} (\ phi')}$

${\ estilo de visualización \ int D \ phi e ^ {- {\ mathcal {S}} (\ phi)} \ delta {\ mathcal {S}} (\ phi) O_ {1} ... O_ {n} = \ int D \ phi e ^ {- {\ mathcal {S}} (\ phi)} \ sum _ {i = 1} ^ {n} O_ {1} ... \ delta O_ {i} ... O_ { norte}}$

en el que la suma del término de la derecha indica la suma de todos los posibles productos de los operadores en los que a aparece una sola vez . En el caso de un solo operador, tenemos: ${\ estilo de visualización \ delta O}$

${\ estilo de visualización <\ delta {\ mathcal {S}} \ O> = <\ delta O> \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad (1)}$

Ahora considero una transformación que satisface las hipótesis del teorema de Noether (simetría continua de la acción) que luego puedo escribir como:

${\ estilo de visualización \ phi '= \ phi + i \ epsilon \ chi}$

con pequeño parámetro global y función genérica de los campos fundamentales y del . Ubico , rompiendo la simetría de la acción por lo demás válida, y expando en serie hasta el primer orden. Por lo tanto, la diferencia en la acción se puede escribir como la suma de dos términos, uno proporcional al cual será cero ya que la acción es invariante bajo la transformación global y otro proporcional al cual escribo como: ${\ estilo de visualización \ épsilon}$ ${\ estilo de visualización \ chi}$ ${\ estilo de visualización x}$ ${\ estilo de visualización \ épsilon}$ $\epsilon$ ${\ estilo de visualización \ parcial _ {\ mu} \ épsilon (x)}$

${\ estilo de visualización \ delta {\ mathcal {S}} = \ int d ^ {4} x {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial \ phi}} \ delta \ phi = i \ int {\ mathcal {d}} ^ {4} xJ _ {\ mu} (x) \ parcial _ {\ mu} \ epsilon (x) = - i \ int d ^ {4} x \ epsilon (x) \ parcial _ {\ mu} J _ {\ mu} (x)}$

para el último paso se integra por partes. Del mismo modo vemos que

${\ estilo de visualización \ delta O = yo \ int re ^ {4} x \ epsilon (x) {\ frac {\ delta O} {\ delta \ phi (x)}} \ chi (x)}$

De ello se deduce que: ${\ estilo de visualización (1)}$

${\ estilo de visualización \ int d ^ {4} z \ epsilon (z) <\ parcial _ {\ mu} J _ {\ mu} (z) O (y)> = \ int d ^ {4} z \ epsilon ( z ) <{\ frac {\ delta O (y)} {\ delta \ phi (z)}} \ chi (z)>}$

Localizo imponiendo la condición . De la definición del delta de Dirac : ${\ estilo de visualización \ épsilon (z)}$ ${\ estilo de visualización \ épsilon (z) = \ épsilon \ delta (xz)}$

${\ estilo de visualización <\ parcial _ {\ mu} J _ {\ mu} (x) O (y)> = <{\ frac {\ delta O (y)} {\ delta \ phi (x)}} \ chi (X)>}$

Esta condición extiende el resultado del teorema de Noether haciéndolo válido también a nivel cuántico. Si tiene una cadena de operadores locales definidos lejos de x, obtiene ${\ estilo de visualización O (y)}$

${\ estilo de visualización <\ parcial _ {\ mu} J _ {\ mu} (x) O (y)> = 0 \ qquad x \ neq y}$

que representa el análogo de la conservación actual en la teoría clásica de campos.

Integrando en el volumen

${\ estilo de visualización \ int d ^ {3} x <\ parcial _ {\ mu} J _ {\ mu} (x) O (y)> = \ int d ^ {3} x <\ parcial _ {0} J_ { 0} (x) O (y)> + \ int d ^ {3} x <\ nabla \ cdot {\ mathbf {J}} (x) O (y)> = 0}$

Para el teorema de la divergencia en una teoría de campos de volumen infinito, el segundo término es nulo. Es

${\ estilo de visualización {\ bar {J_ {0}}} (x_ {0}) \ equiv \ int d ^ {3} xJ_ {0} (x)}$

Por lo tanto, se ha demostrado que

${\ estilo de visualización <\ parcial _ {0} {\ barra {J}} _ {0} (x_ {0}) O (y)> = 0}$

${\ estilo de visualización {\ barra {J}} _ {0} (x_ {0})}$ por lo tanto, es una carga conservada.

Ejemplo

Supongamos que estamos tratando con un sistema bidimensional y consideremos una transformación de coordenadas definida de la siguiente manera: ${\ vec {x}} = (x, y) \ flecha derecha {\ vec {f}}$

f _ {{1}} = x + s \ qquad f _ {{2}} = y

De acuerdo con el teorema, tenemos que:

{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial f_ {1}} {\ parcial s}} = 1 \ qquad {\ frac {\ parcial f_ {2}} {\ parcial s}} = 0}

Luego, automáticamente se guardará la cantidad:

{\ displaystyle p_ {1} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial f_ {i}} {\ parcial s}} (t, 0) \, p_ {i} = \ mathrm {constante}}

Esto significa que para un sistema que tiene una invariancia bajo traslaciones en la dirección , se conservará el momento lineal (momento) en esa dirección. $X$

Notas

^ Yvette Kosmann-Schwarzbach - Los teoremas de Noether
^ E. Noether, Invariant Variationsprobleme . Gotinga 1918, págs. 235-257. Traducción de MA Tavel en Transport Theory and Statistical Mechanics (1971), pp. 183-207
^ Thompson, WJ, Angular Momentum: una guía ilustrada de simetrías rotacionales para sistemas físicos , vol. 1, Wiley, 1994, pág. 5, ISBN 0-471-55264-X .
^ Alberto Nicolis - El teorema de Noether ( PDF ), en phys.columbia.edu . Consultado el 19 de septiembre de 2015 (archivado desde el original el 13 de mayo de 2015) .
^ www-physics.ucsd.edu - Teorema de Noether
^ Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder, Introducción a la teoría cuántica de campos , Libros básicos, 1995, p. 18, ISBN 0-201-50397-2 .
^ Weinberg, S. (1995). La teoría cuántica de campos. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. doi: 10.1017 / CBO9781139644167 .

Bibliografía

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( EN ) Herbert Goldstein, Classical Mechanics , 2nd, Reading MA, Addison-Wesley, 1980, pp. 588–596, ISBN 0-201-02918-9 .
( EN ) Yvette Kosmann-Schwarzbach , Los teoremas de Noether: Invariancia y leyes de conservación en el siglo XX , Fuentes y estudios en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas, Springer-Verlag , 2011, ISBN 978-0-387-87868-3 .
( EN ) Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics , 4th, New York, Dover Publications, 1970, pp. 401-5, ISBN 0-486-65067-7 .
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Enlaces externos

( EN ) DV Alekseevskii, Teorema de Noether , en Encyclopaedia of Mathematics , Springer y European Mathematical Society, 2002.
Teorema de Noether en MathPages.