(G, X) estructura



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En matemáticas , las estructuras (G, X) (también estructuras localmente homogéneas o estructuras geométricas ) brindan la posibilidad de proporcionar variedades topológicas con estructuras geométricas en el sentido del programa Erlangen de Felix Klein . Este enfoque se utiliza en la geometrización de 3 variedades y en la teoría de representación de grupos .

(G, X) estructuras

Sea un grupo de Lie y un espacio G transitivo .

Un colector es un colector con un atlas , es decir , una cubierta por conjuntos abiertos

junto con homeomorfismos

en subconjuntos abiertos de tal que todas las transiciones de coordenadas

Las restricciones de los elementos son.

Mapeo de desarrollo y holonomía

Ilustración de desarrollo

Fije un punto base y un mapa con . Ser

la superposición universal . Estos datos crean un mapa (el llamado mapa de desarrollo )

que, para cada camino, coincide con la continuación analítica a lo largo del camino.

Para datos de salida seleccionados de forma diferente y el mapeo de desarrollo cambia solo por la aplicación de un elemento .

lo completo

El mapa de desarrollo es un homeomorfismo local. Un múltiple se llama completo si su mapa de desarrollo es sobreyectivo . Si está simplemente conectado , entonces cada múltiple completo tiene la forma de un subgrupo discreto .

Existe ESA CONDICION por difeomorfismos analíticos con estabilizadores compactos encendidos . Luego hay una métrica de Riemanniana invariable en cada colector y las siguientes condiciones son equivalentes:

  • es un espacio métrico completo .
  • Hay uno tal que todas las esferas cerradas son compactas.
  • Todas las esferas completadas son compactas.
  • Existe una familia de sets compactos con los que se incluye todo el entorno de en .

En particular, los colectores cerrados siempre están completos en este caso .

Holonomia

por

da continuación analítica a lo largo de una trayectoria cerrada representativa a un mapa comparable , porque ambos se definen en un subconjunto de . Ser

,

así que eso

.

La ilustración

es un homomorfismo de grupo y se llama holonomía de la estructura.

Según la construcción, el mapa de desarrollo es equivariante con respecto al homomorfismo de holonomía, es decir, H. aplica

.

Para datos iniciales elegidos de manera diferente y la holonomía cambia solo a la conjugación con un elemento . Entonces tienes una foto

.

Interpretación de paquetes (teorema de Ehresmann-Thurston-Weil)

Una estructura con (G, X) -Atlas y transiciones coordinadas puede ser un haz de fibras

asignar cuyas imágenes de transición son solo el . En esta interpretación, la imagen de revelado corresponde a un corte . Entonces el paquete es un paquete plano con monodromía .

Por el contrario, una sección corresponde a una estructura si es transversal a las hojas definidas por .

Dado que la transversalidad es una condición abierta, se sigue que hay un homeomorfismo local.

Ejemplos

Geometrías del modelo

Una geometría de modelo es una variedad diferenciable con una acción más diferenciada de un grupo de Lie que satisface las siguientes condiciones:

  • está conectado y simplemente conectado
  • actúa transitivamente con estabilizadores compactos (en particular, hay una métrica de Riemann-invariante)
  • es máxima entre grupos que actúan mediante difeomorfismos con estabilizadores compactos
  • hay al menos un colector compacto .

De la última condición se deduce en particular que debe ser unimodular . Hay numerosos pares que satisfacen todos menos el último, por ejemplo , el grupo de mapas afines de Lie del plano euclidiano.

Geometrías de modelos bidimensionales

Las geometrías de modelos bidimensionales fueron clasificadas por Cartan, son la esfera bidimensional, el plano euclidiano y el plano hiperbólico, cada uno con sus grupos isométricos completos .

Geometrías de modelos tridimensionales

Thurston clasificó las geometrías de modelos tridimensionales. Hay ocho geometrías de modelos tridimensionales, donde el grupo isométrico de la métrica homogénea es:

  • el espacio euclidiano ,
  • la esfera tridimensional (superficie de una esfera de cuatro dimensiones),
  • el espacio hiperbólico ,
  • el producto de 2 esferas y línea recta ,
  • el producto del plano hiperbólico y la línea recta ,
  • , La superposición universal de la grupo lineal especial
  • el Grupo Heisenberg
  • el grupo de Lie resoluble tridimensional .

Geometrías de modelos de 4 dimensiones

Filipkiewicz clasificó las geometrías de modelos de 4 dimensiones.

Variedades afines

Las variedades afines son -variedades para y el grupo de mapas afines. La conjetura de Auslandser (probada por Fried y Goldman para n = 3) dice que el grupo fundamental de variedades afines compactas es policíclico .

Colectores conformales

Una estructura conforme es una estructura con y .

Variedades proyectivas

Las variedades proyectivas son -variedades para . En este caso, las estructuras corresponden a las relaciones proyectivas planas .

Las variedades proyectivas complejas son -variedades para .

Estructura de la bandera

Una bandera estructura es una estructura con y el colector de bandera , es decir, H. el espacio de las banderas completas en , con el efecto canónico y estabilizador del subconjunto de las matrices triangulares superiores .

Jerarquías de geometrías

Si un homomorfismo y uno - equivariante difeomorfismo local , entonces cada uno es -manifold automáticamente un -manifold.

Por ejemplo, el modelo Beltrami-Klein de geometría hiperbólica muestra que cada variedad hiperbólica es automáticamente también una variedad proyectiva . Las otras geometrías de Thurston tridimensionales , con la excepción de y, también se pueden interpretar como un subconjunto de la geometría proyectiva.

literatura

  • William P. Thurston : topología y geometría tridimensional. Vol. 1. Editado por Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, 1997. ISBN 0-691-08304-5
  • G. Peter Scott : Las geometrías de 3 variedades. Bull. London Math. Soc. 15 (1983) nº 5, 401-487. en línea
  • Richard Canary ; David Epstein ; PL Verde: Notas sobre notas de Thurston . Con un nuevo prólogo de Canary. London Math. Soc. Lecture Note Ser., 328, Fundamentos de la geometría hiperbólica: exposiciones seleccionadas, 1-115, Cambridge Univ. Prensa, Cambridge, 2006
  • William P. Thurston: La geometría y topología de los tres colectores en línea
  • Yoshinobu Kamishima; Ser Peow Tan: Espacios de deformación en estructuras geométricas. Aspectos de variedades de baja dimensión, 263-299, Adv. Stud. Pure Math., 20, Kinokuniya, Tokio, 1992
  • William M. Goldman : variedades geométricas localmente homogéneas. Actas del Congreso Internacional de Matemáticos. Volumen II, 717-744, Agencia del Libro Hindustan, Nueva Delhi, 2010. pdf

enlaces web

prueba

  1. ^ RP Filipkiewicz: geometrías de cuatro dimensiones , Ph.D. Tesis, Univ. Warwick, Coventry, 1984; por bibl.
  2. CTC Wall : Geometrías y estructuras geométricas en dimensión real 4 y dimensión compleja 2. Geometría y topología (College Park, Md., 1983/84), 268-292, Lecture Notes in Math., 1167, Springer, Berlín, 1985

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