Serie armónica (matemática)

Se llama serie armónica (en matemáticas) a aquella que suma los inversos multiplicativos de los enteros positivos, denotándola con la siguiente serie infinita:

Se llama así porque la longitud de onda de los sucesivos armónicos de una cuerda que vibra es proporcional a la longitud de onda del modo de oscilación fundamental a través de los factores de proporcionalidad dados por los correspondientes términos de la serie: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7... El primer término representa por tanto al modo fundamental.

La serie armónica es divergente, aunque diverge lentamente (los primeros 10⁴³ términos de la serie suman menos que 100). Esto se puede demostrar haciendo ver que la agrupación de los términos de la serie armónica:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+\left+\left+\cdots }$

son mayores, que esta otra serie:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }2^{-\lceil \log _{2}k\rceil }\!=1+{\frac {1}{2}}+\left+\left+\cdots }$

${\displaystyle =1+{\frac {1}{2}}\ +\quad {\frac {1}{2}}\quad +\qquad \quad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \quad +\quad \cdots }$

que está claro que diverge y por consecuencia la serie armónica también diverge. Esta prueba fue dada por Nicolás Oresme en (1350) y fue un gran paso para las matemáticas medievales en particular​

Prueba de por qué diverge

Se tiene la desigualdad ${\displaystyle {\frac {1}{n}}>\log {\frac {n+1}{n}}}$, n es número entero positivo. Entonces

${\displaystyle 1>\log {\frac {2}{1}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}>\log {\frac {3}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}>\log {\frac {4}{3}}}$

.........................

${\displaystyle {\frac {1}{n}}>\log {\frac {n+1}{n}}}$

Sumando miembro a miembro: serie armónica ${\displaystyle >\log {\frac {2\cdot 3\cdot 4\cdot \cdot \cdot (n+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \cdot \cdot n}}=\log(n+1)}$

en el límite ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{n}})\geq \lim _{n\to \infty }\log(n+1)=\infty }$

Por tanto la serie armónica diverge.​

Otras series, como la suma de los inversos de los números primos diverge, aunque esto ya es más difícil de demostrar (véase la demostración aquí).

La serie armónica alternada, sin embargo, converge:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\cdots =\ln 2}$

Esta es una consecuencia de la serie de Taylor del logaritmo natural.

Si definimos el n-ésimo número armónico como:

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$

entonces H_n crece aproximadamente tan rápido como el logaritmo natural de n. Esto es así porque la suma se aproxima a la integral

${\displaystyle \int _{1}^{n}{1 \over x}\,dx}$

cuyo valor es log(n).

Con más precisión, tenemos el límite:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{n}-\log(n)=\gamma }$

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni.

Se puede demostrar que:

1. El único H_n que es entero es H₁.
2. La diferencia H_m - H_n donde m>n nunca es entera.

Entre las representaciones para H_n, en las que n puede ser un número fraccionario o negativo (no entero) están:

${\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx}$

dada​ por Leonhard Euler.

Y también

${\displaystyle H_{n}=\Psi (n+1)+\gamma \,\!}$

donde Ψ(n+1) es la función digamma y γ es la constante de Euler-Mascheroni.

Jeffrey Lagarias demostró en 2001 que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación:

${\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+\log(H_{n})e^{H_{n}}\qquad {\mbox{ para todo }}n\in \mathbb {N} }$

donde σ(n) es la suma de los divisores positivos de n.​

Las series armónicas generalizadas se definen de la siguiente forma:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{an+b}}}$

Como principal propiedad tenemos que todas estas series son divergentes.

La p-serie (o serie de las p) es cualquiera de las series

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}$

para p número real positivo. La serie es convergente si p > 1 y divergente en otro caso. Cuando p = 1, la serie es la serie armónica. Si p > 1, entonces la suma de la serie es ζ(p), es decir, la función zeta de Riemann evaluada en p.

Esto se puede utilizar para comprobar la convergencia de series.

• Media armónica
• Número armónico

• Leonhard Euler, De summatione innumerabilium progressionum, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5, 1738, pp. 91-105 Reprinted In Opera Omnia: Series 1, Volume 14, pp. 25 - 41
• Kifowit, Steven J.; Stamps, Terra A. (Spring 2006). «The harmonic series diverges again and again». AMATYC Review (American Mathematical Association of Two-Year Colleges) 27 (2): 31-43.  Véase también el anexo no publicado, "More proofs of divergence of the harmonic series" por Kifowit. (en inglés)
• An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis, American Mathematical Monthly, volume 109 (2002), pages 534--543.

• Oresme, N. (1350) "Quaestiones super geometriam Euclidis", Edited by H. L. L.Busard. Janus, suppléments, Vol. III, E. J. Brill, Leiden, 1961.

• Leonhard Euler, De summatione innumerabilium progressionum E020 (en latín)
• Weisstein, Eric W. «Harmonic Series». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Jeffrey Lagarias, An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis (en inglés)
• Prueba corta de la divergencia de la serie armónica Archivado el 9 de mayo de 2008 en Wayback Machine. Archivado el 12 de mayo de 2008 en Wayback Machine.