Seminorma

Una seminorma es una generalización del concepto de norma vectorial que se define a partir de un producto escalar el cual no es definido positivo o se dice que es semiescalar.

Sea V un espacio vectorial real. Llamamos producto semiescalar sobre ${\displaystyle V\times V}$ al mapeo ${\displaystyle \{x,y\}\in V\times V\to ((x,y))\in R}$ tal que satisface las siguientes condiciones

i. ${\displaystyle ((\sum _{i=1}^{n}\lambda ^{i}x_{i},y))=\sum _{i=1}^{n}\lambda ^{i}((x_{i},y))}$, linealidad respecto a ${\displaystyle x}$

ii. ${\displaystyle ((x,\sum _{j=1}^{m}\mu ^{j}y_{j}))=\sum _{j=1}^{m}\mu ^{j}((x,y_{j}))}$, linealidad respecto a ${\displaystyle y}$

iii. ${\displaystyle ((x,y))=((y,x))}$, simetría

iv. ${\displaystyle ((x,x))>=0}$ para toda ${\displaystyle x\in V}$, positividad.

Si ${\displaystyle ((x,y))}$ es un producto semiescalar entonces ${\displaystyle ||x||={\sqrt {((x,x))}}}$ es una seminorma. Y será una norma si ${\displaystyle ((x,y))}$ es un producto escalar con la condición (iv) ${\displaystyle ((x,x))>0}$, es decir definida positiva.

• Applied Functional Analysis. Second Edition Jean-Pierre Aubin. Wiley Inter-Science.