Dodecaedro

Dodecaedro

Tipo	sólido platónico
Caras de forma	pentágonos
Nº caras	12
Nº de aristas	30
Nº de vértices	20
Valencias en la parte superior	3
grupo de simetría	${\ estilo de visualización A_ {5} \ veces \ mathbb {Z} _ {2}}$
Doble	icosaedro
Propiedad	no quiral

En geometría sólida, el dodecaedro es un poliedro de doce caras. Sin embargo, este término generalmente se refiere al dodecaedro regular : en el dodecaedro regular las caras son pentágonos regulares que se encuentran en grupos de tres en cada vértice .

Sólido platónico

El dodecaedro regular es uno de los cinco sólidos platónicos . Por lo tanto, tiene un gran número de simetrías . Tiene 20 vértices y 30 aristas. Su poliedro dual es el icosaedro , que también es un sólido platónico.

Área y volumen

El área y el volumen de un dodecaedro cuya arista tiene longitud vienen dados respectivamente por: $a$

{\ estilo de visualización A = 3a ^ {2} {\ raíz cuadrada {25 + 10 {\ raíz cuadrada {5}}}},}

{\ displaystyle V = {\ begin {matriz} {1 \ over 4} \ end {matriz}} (15 + 7 {\ sqrt {5}}) a ^ {3}.}

o por aproximación:

{\ estilo de visualización V = 7 {,} 663a ^ {3}}

La construcción de Euclides

En el libro XIII de sus Elementos , Euclides describe el método para inscribir un dodecaedro regular en una esfera de un diámetro dado. La construcción se basa en que, habiendo elegido 8 de los 20 vértices de un dodecaedro regular, estos son también los vértices de un cubo inscrito en la misma esfera. La construcción de Euclides es la siguiente:

Inscribimos un cubo en la esfera dada y consideramos dos caras adyacentes, y de ese cubo (ver figura 1). Entonces sean y los puntos medios de y respectivamente y sean y los puntos medios de y Finalmente, dibuje el círculo de radio y centro determinando así el punto Con radio y centro en los puntos y en el segmento Sea entonces el más cercano entre los dos Los puntos de intersección entre la circunferencia y se puede comprobar que ésta se divide en "motivo medio y extremo", es decir, es tal que la razón entre y es la sección áurea . Finalmente, sea el punto de tal que $A B C D$ ${\ estilo de visualización ADEF,}$ ${\ estilo de visualización T, G, L, W}$ $METRO.$ ${\ estilo de visualización EF, AD, BC, AB}$ $CD$ $r$ $j$ ${\ estilo de visualización GT}$ ${\ estilo de visualización GL.}$ $kilómetros$ ${\ estilo de visualización K,}$ ${\ estilo de visualización H.}$ ${\ estilo de visualización HJ}$ $j$ $PAGS.$ $No.$ ${\ estilo de visualización MW.}$ $h$ $GRAMO.$ ${\ estilo de visualización GL;}$ $h$ ${\ estilo de visualización GJ}$ ${\ estilo de visualización HJ}$ ${\ estilo de visualización GJ}$ $S.$ ${\ estilo de visualización GT}$ ${\ estilo de visualización GS = GH.}$

Dibuje el rayo saliente desde y perpendicular a la cara y determine el punto del rayo de distancia ( ) desde Haga lo mismo desde los puntos y (esta vez con respecto a la cara ), determinando los puntos y los puntos formarán los vértices de una cara del pentágono. $S.$ ${\ estilo de visualización ADEF}$ $X$ ${\ estilo de visualización JH}$ ${\ estilo de visualización = SR}$ ${\ estilo de visualización S.}$ $PAGS.$ $No.$ $A B C D$ $Y$ ${\ estilo de visualización Z.}$ ${\ estilo de visualización A, D, X, Y, Z}$

Siguiendo las instrucciones de construcción anteriores, Euclides demuestra con un largo razonamiento que los puntos y junto con los puntos y son los vértices de uno de los pentágonos regulares que forman el dodecaedro (cuyos lados están dibujados en rojo). Aquí hay algunos consejos: ${\ estilo de visualización X,}$ $Y$ ${\ estilo de visualización Z,}$ $A$ ${\ estilo de visualización D,}$

En primer lugar, es necesario demostrar que los cinco puntos indicados son coplanares, lo que se puede verificar fácilmente observando la proyección lateral que aparece en la parte inferior derecha de la figura 1. En esta figura solo los puntos pertenecientes al plano que pasa a través de las líneas y (el punto es el punto medio del lado del pentágono). Los segmentos de longitud y se obtuvieron como la sección áurea del segmento de longitud (la mitad de la arista del cubo); teniendo en cuenta la definición clásica de la sección áurea, es inmediato concluir que los triángulos y son semejantes, por tanto los ángulos ε son iguales entre sí. En consecuencia, los segmentos y se encuentran en la misma línea y, por lo tanto, los cinco puntos del pentágono se encuentran en un solo plano. ${\ estilo de visualización TG}$ ${\ estilo de visualización GL}$ $tu$ ${\ estilo de visualización YZ}$ $a$ $b$ $a + b$ ${\ estilo de visualización a: b = b: a + b,}$ ${\ estilo de visualización GSX}$ ${\ estilo de visualización GJU}$ ${\ estilo de visualización XG}$ ${\ estilo de visualización GU}$

El hecho de que los cinco lados del pentágono sean iguales entre sí se puede verificar aplicando el teorema de Pitágoras ; a este respecto, basta comprobar que es igual a cualquiera de los otros lados, que son necesariamente iguales entre sí: en efecto, cada uno de los lados y resulta ser la diagonal de un paralelepípedo cuyas aristas son y (respecto a el lado : las aristas del paralelepípedo cuya diagonal es y ). ${\ estilo de visualización YZ}$ ${\ estilo de visualización ZD,}$ ${\ estilo de visualización DX,}$ ${\ estilo de visualización XA}$ ${\ estilo de visualización AY}$ ${\ estilo de visualización a,}$ $b$ $a + b$ ${\ estilo de visualización ZD}$ ${\ estilo de visualización a = MN,}$ ${\ estilo de visualización b = NZ}$ ${\ estilo de visualización a + b = DM}$

Finalmente, es necesario comprobar que los ángulos internos del pentágono son iguales entre sí y esto se puede demostrar de forma indirecta, de nuevo gracias al teorema de Pitágoras. De hecho, se puede comprobar que las distancias de cada vértice al punto central de la esfera (así como del cubo y del dodecaedro) son todas iguales entre sí, y de ahí se sigue que los vértices del pentágono están sobre una circunferencia cuyo centro es la proyección del punto en el plano del pentágono : luego el pentágono mismo, teniendo lados y vértices iguales en una circunferencia, es regular. Pero el hecho de que las distancias de los vértices del pentágono al centro de la esfera sean todas iguales también demuestra que los vértices del pentágono están en la superficie de la esfera en la que se va a inscribir el dodecaedro. $q$ $q$ ${\ estilo de visualización AYZBX}$ $q$

En este punto, para obtener el dodecaedro basta con repetir la misma construcción para las 11 caras restantes, como se muestra en la figura 2.

Historia

Al igual que los demás sólidos platónicos , el dodecaedro ha sido objeto de estudio de los filósofos desde la antigüedad. El conocimiento sobre las propiedades y cualidades asociadas a este sólido era un secreto. Tanto es así que el filósofo griego de Metapontus Ippaso por el mero hecho de haber mencionado la figura fue acusado de impiedad.

Otros se interesaron por la figura geométrica, entre ellos importantes personalidades como Pitágoras y Platón . Este último, en el Timeo , asoció un elemento a cada uno de los 5 sólidos platónicos: después del fuego, la tierra, el aire y el agua, al dodecaedro se le asignó el "éter" o "quintaesencia" que componían los cuerpos celestes y el alma. Según el filósofo, el cosmos tenía la forma del dodecaedro.

El cielo estrellado representado en la superficie de un dodecaedro regular es publicado por Richard A. Proctor en su

“Un atlas estelar para la biblioteca, la escuela y el observatorio. Mostrando 6.000 estrellas y 1.500 objetos de interés, en doce mapas circulares en la proyección equidistante; con dos placas indicadoras de colores, en sus posiciones relativas adecuadas, incluidas todas las estrellas hasta la quinta magnitud, y las figuras de las constelaciones... Londres 1874 " [1]

Estas consideraciones podrían estar en la base de la comprensión del llamado dodecaedro romano, un objeto presente en varios museos y sobre el que todavía nos preguntamos por su función real.

Poliedro dual

El poliedro dual del dodecaedro es el icosaedro .

Simetrías

El dodecaedro tiene 120 simetrías . El grupo de simetría del icosaedro se compone pues de 120 elementos: es isomorfo al producto del grupo alterno de orden y del grupo cíclico de orden 2. Las 60 rotaciones forman el subgrupo , isomorfo ad . ${\ estilo de visualización A_ {5} \ veces \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ $A_ {5}$ ${\ estilo de visualización 5! / 2 = 60}$ ${\ estilo de visualización A_ {5} \ veces \ {0 \}}$ $A_ {5}$

Las 60 rotaciones son de varios tipos:

Rotación de 360/5 = 72° (es decir, radianes ) alrededor de un eje que une los centros de dos caras opuestas; ${\ estilo de visualización 2 \ pi / 5}$
Rotación de 360/3 = 120° (es decir, radianes) alrededor de un eje que une dos vértices opuestos; ${\ estilo de visualización 2 \ pi / 3}$
Rotación de 360/2 = 180° (es decir, radianes) alrededor de un eje que une los puntos medios de dos aristas opuestas. $\ Pi$

Además de estos, también están las rotaciones obtenidas al componer una rotación sobre el mismo eje varias veces: de esta manera es posible, por ejemplo, obtener los ángulos 72 °, 144 °, 216 ° y 288 ° en una rotación del primer tipo. Entonces hay rotaciones del primer tipo ( ángulos posibles para cada uno de los 6 pares de caras opuestas), rotaciones del segundo tipo ( ángulos de 120° y 240° para cada uno de los 10 pares de vértices opuestos) y rotaciones del tercer tipo . En total, se debe sumar la identidad para obtener un total de . ${\ estilo de visualización 6 \ veces 4 = 24}$ $4$ ${\ estilo de visualización 2 \ veces 10 = 20}$ $2$ $15$ ${\ estilo de visualización 24 + 20 + 15 = 59}$ $60$

El icosaedro tiene el mismo grupo de simetrías. Otros sólidos tienen este grupo de simetría: entre ellos, el icosaedro truncado , que modela el balón de fútbol .

Otras propiedades

El gráfico de los vértices y el de las aristas de un dodecaedro son 3-coloreables , pero no el de las caras, que sólo es 4-colorable.

Notas

^ http://www.atlascoelestis.com/Proctor%201874%20Pagina%20base.htm

Otros proyectos

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Enlaces externos

( EN ) Dodecahedron , en Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.