Desigualdad riemanniana de Penrose

En relatividad general, la desigualdad de Penrose, inicialmente conjeturada por Sir Roger Penrose, estima la masa de un espacio-tiempo en términos del área total de sus agujeros negros y es una generalización del teorema de la masa positiva.

La desigualdad riemanniana de Penrose es un caso especial importante. Específicamente, si (M, g) es una variedad tridimensional de Riemann asintóticamente plana con curvatura escalar no negativa y masa ADM m, y A es el área de la más externa superficie mínima (posiblemente con múltiples componentes conectados), entonces la desigualdad riemanniana de Penrose afirma

${\displaystyle m\geq {\sqrt {\frac {A}{16\pi }}}.}$.

Esto es puramente un hecho geométrico, y se corresponde con el caso de un completo tridimensional espacio-como, totalmente geodésica de una subvariedad espacio-tiempo (3 + 1)-dimensional. Tal subconjunto a menudo se denomina conjunto de datos inicial simétrico en el tiempo para un espacio-tiempo. La condición de (M, g) que tiene una curvatura escalar no negativa es equivalente al espacio-tiempo que obedece a la condición de energía dominante.

Esta desigualdad fue probada por primera vez por Gerhard Huisken y Tom Ilmanen en 1997 en el caso en que A es el área del componente más grande de la superficie mínima más externa. Su prueba se basó en la maquinaria de flujo de curvatura media inversa débilmente definido , que desarrollaron. En 1999, Hubert Bray dio la primera prueba completa de la desigualdad anterior utilizando un flujo de métricas conforme . Ambos documentos fueron publicados en 2001.

El argumento físico original que llevó a Penrose a conjeturar tal desigualdad invocó el teorema del área de Hawking y la hipótesis de la censura cósmica.

Las pruebas de Bray y Huisken-Ilmanen de la desigualdad riemanniana de Penrose afirman que bajo las hipótesis, si

${\displaystyle m={\sqrt {\frac {A}{16\pi }}}}$,

entonces la variedad en cuestión es isométrica a una porción del espacio-tiempo de Schwarzschild fuera de la superficie mínima más externa.

De manera más general, Penrose conjeturó que una desigualdad como la anterior debería ser válida para subvariedades espaciales de espacios-tiempo que no son necesariamente simétricos en el tiempo. En este caso, la curvatura escalar no negativa se reemplaza con la condición de energía dominante, y una posibilidad es reemplazar la condición superficial mínima con una condición de horizonte aparente. Probar tal desigualdad sigue siendo un problema abierto en la relatividad general, llamada conjetura de Penrose.

• Bray, H. (2001). «Proof of the Riemannian Penrose inequality using the positive mass theorem». Journal of Differential Geometry 59 (2): 177-267. Bibcode:2001JDGeo..59..177B. MR 1908823. doi:10.4310/jdg/1090349428. 
• Bray, H.; Chruściel, P. (2003). «The Penrose Inequality». arXiv:gr-qc/0312047. 
• Huisken, G.; Ilmanen, T. (1997). «The Riemannian Penrose inequality». International Mathematics Research Notices 1997 (20): 1045-1058. ISSN 1073-7928. MR 1486695. doi:10.1155/S1073792897000664. 
• Huisken, G.; Ilmanen, T. (2001). «The inverse mean curvature flow and the Riemannian Penrose inequality». Journal of Differential Geometry 59 (3): 353-437. MR 1916951. doi:10.4310/jdg/1090349447.