Deformación

En física e ingeniería , la deformación de un cuerpo continuo (o estructura ) es cualquier cambio en la configuración geométrica del cuerpo que conduce a un cambio en su forma o tamaño después de la aplicación de una tensión interna o externa .

El estudio de la deformación de un cuerpo continuo tiene una importancia fundamental en la mecánica de medios continuos y en la mecánica estructural , ya que se formula la caracterización mecánica del comportamiento del material que constituye el cuerpo (y por tanto de cómo se deforma este bajo la acción de fuerzas aplicadas). por relaciones constitutivas convenientemente expresadas en términos del vínculo entre los parámetros que describen el estado de tensión y deformación del propio cuerpo. Para ello, no es tan importante conocer la deformación global del cuerpo, sino llegar a una caracterización local de la deformación, es decir, una descripción de la deformación que afecta a una vecindad .genérico de cada punto del cuerpo.

En general, los materiales se pueden caracterizar en base a sus deformaciones elásticas y plásticas . Una deformación elástica es una deformación que desaparece cuando cesa el esfuerzo, en caso contrario hay una deformación plástica o permanente. Hay materiales que prácticamente sólo tienen deformación plástica y materiales que son elásticos hasta un cierto valor de tensión, después del cual hay plasticidad hasta la rotura. A continuación definiremos el estado de deformación del continuo de Cauchy tridimensional , refiriéndonos a los ítems relativos para el estudio de la deformación de otros modelos de cuerpos continuos ( vigas , láminas , etc.).

Notación y simbología

Operaciones sobre vectores y tensores / matrices :

Historia

La génesis del concepto de deformación entendida en el sentido moderno del término, es decir, como una variación local de la configuración del cuerpo, se sitúa entre los siglos XVII y XVIII , cuando Isaac Beeckman y Johann Bernoulli introdujeron la medida de la deformación . como una relación entre la variación de la longitud de la fibra de un material y su longitud original.

Posteriormente, con base en este concepto, un gran número de importantes estudiosos desarrollaron el tema de la deformación: entre estos recordamos principalmente a Euler , quien desarrolló el modelo tridimensional de la teoría de las deformaciones infinitesimales , y a Cauchy , quien desarrolló la teoría de las deformaciones finitas . .

Cambios de configuración

Una configuración geométrica del continuo de Cauchy es cualquier región regular del espacio tridimensional euclidiano ( espacio físico ) ocupada por los puntos del cuerpo. Al desarrollar el concepto de deformación, podemos limitarnos a considerar dos configuraciones específicas, sin considerar la secuencia en que se alcanza la segunda a partir de la primera. Es costumbre llamar a la primera configuración no deformada e identificarla con la configuración de referencia; la segunda se llama configuración deformada . Ambos se consideran independientes del tiempo.

El análisis de deformaciones consiste en el estudio de la aplicación (el transporte )

que lleva al cuerpo de la configuración no deformada a la deformada o, lo que es lo mismo, en el estudio del desplazamiento producido medido por el campo vectorial definido como sigue:

En particular, es importante estudiar la deformación de una vecindad de un punto material genérico, es decir, de una pequeña porción del cuerpo próxima al punto considerado. Para ello, es útil el uso del tensor de gradiente (de segundo orden) de la deformación .

con referencia al gradiente del campo

El gradiente de deformación es una medida de la deformación de una vecindad de un punto genérico ya que, por definición de gradiente, permite representar la transformación que sufre un segmento orientado perteneciente a la vecindad desde la configuración no deformada a la configuración deformada

También permite representar mediante la (fórmula de Nanson )

la transformación que sufre un elemento de superficie orientado de área y orientación normal en la configuración no deformada y de área y orientación en la configuración deformada.

Finalmente, relaciona la medida de un elemento de volumen infinitesimal en la configuración no deformada y en la configuración deformada

Representación en componentes escalares

Fijo un sistema de coordenadas cartesianas en base ortonormal e indicando con las coordenadas (llamadas materiales o referenciales ) del punto en la configuración de referencia y con las coordenadas (llamadas espaciales ) del punto en la configuración deformada, la aplicación de transporte y desplazamiento son representado en componentes por el sistema de relaciones escalares:

El tensor de gradiente de deformación tiene la siguiente matriz de representación en componentes escalares:

Medidas de deformación pura

En general, un desplazamiento genérico de un cuerpo incluye tanto una tasa de desplazamiento rígido como una tasa de deformación pura del cuerpo con variación de forma o tamaño (o ambos). En particular, la transformación de una vecindad de un punto descrita por el tensor viene dada por la composición de una rotación rígida de la vecindad con una deformación pura de esta. El teorema de la descomposición polar permite evaluar ambas contribuciones, asegurando que solo existen dos descomposiciones del tensor

donde es un tensor ortogonal descriptor de la rotación y son tensores positivos simétricos y definidos representativos de la deformación pura experimentada, llamados respectivamente tensor derecho y tensor izquierdo de la deformación . Por lo tanto, cualquier medida posible de tensión pura debe ser una función solo del tensor o del tensor .

Mediciones locales de tensión pura

Las medidas locales de deformación pura de interés técnico son la expansión lineal , el deslizamiento angular y la expansión volumétrica .

Expansión lineal

El cambio porcentual en la longitud de un segmento orientado antes y después de la deformación se mide por

Una medida análoga, la variación porcentual de los cuadrados de las longitudes, se define así

Desplazamiento angular

Considere dos segmentos orientados e de la configuración de referencia, ortogonales entre sí, y sus transformadas e . El deslizamiento angular mide el cambio de ángulo subtendido entre elementos lineales antes y después de la deformación. Se expresa por:

Expansión volumétrica

El cambio porcentual de un elemento de volumen antes y después de la deformación:

Medidas tensoriales de deformación pura

Una descripción objetiva de la deformación pura debe ser necesariamente independiente de la rotación rígida, y por lo tanto del tensor y funciones de los tensores sólo o . Las posibles medidas del tensor hamiltoniano de deformación térmica se expresan en la forma

donde n es un número real (no necesariamente un número entero): para n = 1 y n = 2 hablamos respectivamente del tensor de Biot y el tensor de Green .

Tensor de deformación de Green

El tensor de Green es un tensor simétrico definido por la relación anterior o equivalentemente en términos del gradiente de deformación y el gradiente de desplazamiento:

Es una medida de la deformación ya que es cero en presencia de desplazamientos rígidos. Tiene un fuerte interés técnico ya que es fácil de determinar en términos del gradiente de la deformación o desplazamiento y permite una representación simple de las medidas locales de deformación pura previamente definidas:

El tensor de deformación de Green tiene la siguiente representación en componentes escalares:

Tensor de deformación de Biot

El tensor de deformación de Biot es un tensor simétrico definido por

La determinación del tensor de Biot es menos fácil que la del tensor de Green, ya que requiere la determinación del tensor de deformación correcto y este, en términos del gradiente de deformación o desplazamiento, pasa por una operación de raíz cuadrada más compleja siendo

La siguiente relación (no lineal) existe entre los tensores de deformación de Green y Biot

Por lo tanto, esta relación se puede informar en un desarrollo de la serie de Taylor

Para deformaciones muy pequeñas las dos medidas de tensor prácticamente coinciden

Teoría de pequeños desplazamientos

Desplazamientos rígidos infinitesimales

Un corolario de la hipótesis de pequeños desplazamientos y deformaciones es la representación del campo de desplazamiento rígido. En teoría lineal, los desplazamientos de los puntos de una vecindad del punto se aproximan por

Por otro lado, el tensor de gradiente de desplazamiento se puede descomponer en una parte simétrica y otra antisimétrica

Por lo tanto, los desplazamientos alrededor del punto están definidos por la suma

de la cual, dado que la tasa ligada al tensor es representativa de la deformación pura de la vecindad, se sigue que la tasa restante

explica los desplazamientos rígidos (infinitesimales) de los alrededores. En particular, el término mide la traslación rígida, mientras que el término define la rotación rígida. Usando el concepto de vector axial asociado con el tensor de rotación antisimétrico (el vector de velocidad angular ), el desplazamiento rígido de la vecindad se puede representar por

Las relaciones cinemáticas (no lineales) obtenidas anteriormente tienen validez general, para cualquier entidad de desplazamientos y deformaciones. Desde el punto de vista aplicativo, el examen del estado de deformación en el caso en que tanto el campo de desplazamiento como su gradiente sean pequeños (en un sentido que debe precisarse) es de fundamental interés . En este caso hablamos de teoría lineal de la deformación (o incluso, menos correctamente, de teoría de las deformaciones infinitesimales ). Las relaciones cinemáticas relacionadas pueden obtenerse directamente de forma autónoma o derivarse, como sigue, de las de la teoría no lineal, mediante un proceso límite y despreciando las contribuciones infinitesimales de orden superior.

Una vez establecida una cota L significativa para la geometría del cuerpo y las medidas estándar adecuadas , hablamos de pequeños desplazamientos y pequeñas deformaciones si

Se muestra que, en la teoría de pequeños desplazamientos, es legítimo confundir, a los efectos de escribir las relaciones de equilibrio , la configuración inicial no deformada con la actual configuración deformada.

Tensor de deformación infinitesimal

En la hipótesis de pequeños desplazamientos y deformaciones, el tensor de deformación infinitesimal , definido como la parte simétrica del gradiente de desplazamiento , juega un papel fundamental en la descripción de la deformación.

De hecho, las aproximaciones lineales para el tensor de Green son válidas

y para otras medidas de deformación pura:

expansión lineal deslizamiento angular expansión volumétrica (la traza del tensor ) El tensor de deformación infinitesimal en componentes escalares y su significado físico

Parte esférica y desviadora del tensor de deformación

Como cualquier tensor, el tensor de deformación se puede descomponer en una parte esférica y una parte desviadora.

\

donde, denotando con el tensor de identidad, es la deformación media por alargamiento

La parte esférica del tensor de deformación es representativa de un estado de deformación con deslizamientos angulares nulos y deformaciones extensionales uniformes en todas las direcciones, que no producen cambios de forma sino sólo cambios de volumen.

La parte desviadora de la deformación.

dicha deformación distorsionadora , por otra parte, está asociada a un estado de deformación que no provoca una variación de volumen, sino únicamente una variación de forma.

Ecuaciones de congruencia explícitas de S. Venant

Relaciones

respectivamente para la teoría lineal y no lineal, dan como resultado una congruencia cinemática entre las cantidades que describen localmente la geometría de la deformación pura y las cantidades (desplazamientos) que representan los cambios de configuración de todo el cuerpo. Una vez asignado el campo de desplazamiento , estas relaciones determinan unívocamente los campos de deformación, es decir, son definitorias para los tensores : se denominan relaciones implícitas de congruencia . Sin embargo, el problema se puede plantear de forma inversa: dados campos tensoriales genéricos , ¿son suficientes las relaciones dadas para definir un campo de desplazamiento? O más bien, ¿existe un campo vectorial compatible con los campos asignados a partir de la satisfacción de las relaciones de congruencia implícitas anteriores? En general, la respuesta a esta pregunta es negativa.

Las relaciones cinemáticas anteriores son, por lo tanto, también restricciones para los componentes de los descriptores de deformación: estos no pueden asignarse arbitrariamente, ya que están vinculados por la condición de integrabilidad de las relaciones implícitas de congruencia en términos del campo de desplazamiento. Estos son integrables solo si los campos de tensores de deformación asignados satisfacen relaciones adicionales, llamadas condiciones explícitas de congruencia . En el caso lineal y para un dominio simplemente conexo de la configuración de referencia, estas relaciones se deben a S. Venant y se expresan en términos tensoriales por la

En términos escalares, las ecuaciones de S. Venant

están representados por 81 relaciones escalares en las derivadas de las componentes del campo tensorial , de las cuales solo las 6, que se detallan a continuación, son independientes

Si el campo tensorial está dado por componentes constantes o lineales de las coordenadas , entonces las condiciones de congruencia explícitas anteriores se verifican trivialmente.

Bibliografía

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